Атомная физика | Физические законы механики | Термодинамика | Электричество | Магнетизм | Оптика | Молекулярная физика |
Математика 1 семестр | Математика 2 семестр | Математика 3 семестр | Математика 4 семестр | Интегралы | 1 курс

Лекции по ТЕОРЕТИЧЕСКИМ ОСНОВАМ ЭЛЕКТРОТЕХНИКИ

Лекция N 13

Метод эквивалентного генератора

Метод эквивалентного генератора, основанный на теореме об активном двухполюснике (называемой также теоремой Гельмгольца-Тевенена), позволяет достаточно просто определить ток в одной (представляющей интерес при анализе) ветви сложной линейной схемы, не находя токи в остальных ветвях. Применение данного метода особенно эффективно, когда требуется определить значения тока в некоторой ветви для различных значений сопротивления в этой ветви в то время, как в остальной схеме сопротивления, а также ЭДС и токи источников постоянны. Составить систему контурных уравнений, определить токи в ветвях Метод контурных токов сводится к составлению и решению систем уравнений, получаемых только по второму закону Кирхгофа применительно к понятиям контурных токов, сопротивлений и ЭДС.

Теорема об активном двухполюснике формулируется следующим образом: если активную цепь, к которой присоединена некоторая ветвь, заменить источником с ЭДС, равной напряжению на зажимах разомкнутой ветви, и сопротивлением, равным входному сопротивлению активной цепи, то ток в этой ветви не изменится.

Ход доказательства теоремы иллюстрируют схемы на рис. 1.

Пусть в схеме выделена некоторая ветвь с сопротивлением Z, а вся оставшаяся цепь обозначена как активный двухполюсник А (рис. 1,а). Разомкнем эту ветвь между точками 1 и 2 (рис. 1,б). На зажимах этой ветви имеет место напряжение . Если теперь между зажимами 1 и 2 включить источник ЭДС с направлением, указанным на рис. 1,в , то, как и в цепи на рис.1,б ток в ней будет равен нулю. Чтобы схему на рис. 1,в сделать эквивалентной цепи на рис. 1,а, в рассматриваемую ветвь нужно включить еще один источник ЭДС , компенсирующий действие первого (рис. 1,г). Будем теперь искать ток по принципу наложения, т.е. как сумму двух составляющих, одна из которых вызывается источниками, входящими в структуру активного двухполюсника, и источником ЭДС , расположенным между зажимами 1 и 2 слева, а другая – источником ЭДС , расположенным между зажимами 1 и 2 справа. Но первая из этих составляющих в соответствии с рис. 1,в равна нулю, а значит, ток определяется второй составляющей, т.е. по схеме на рис. 1,д, в которой активный двухполюсник А заменен пассивным двухполюсником П. Таким образом, теорема доказана.

Указанные в теореме ЭДС и сопротивление можно интерпретировать как соответствующие параметры некоторого эквивалентного исходному активному двухполюснику генератора, откуда и произошло название этого метода.

Таким образом, в соответствии с данной теоремой схему на рис. 2,а, где относительно ветви, ток в которой требуется определить, выделен активный двухполюсник А со структурой любой степени сложности, можно трансформировать в схему на рис. 2,б.

Отсюда ток находится, как:

(1)

где - напряжение на разомкнутых зажимах a-b.

Уравнение (1) представляет собой аналитическое выражение метода эквивалентного генератора.

Параметры эквивалентного генератора (активного двухполюсника) могут быть определены экспериментальным или теоретическим путями.

В первом случае, в частности на постоянном токе, в режиме холостого хода активного двухполюсника замеряют напряжение на его зажимах с помощью вольтметра, которое и равно . Затем закорачивают зажимы a и b активного двухполюсника с помощью амперметра, который показывает ток (см. рис. 2,б). Тогда на основании результатов измерений .

В принципе аналогично находятся параметры активного двухполюсника и при синусоидальном токе; только в этом случае необходимо определить комплексные значения и .

При теоретическом определении параметров эквивалентного генератора их расчет осуществляется в два этапа:

1. Любым из известных методов расчета линейных электрических цепей определяют напряжение на зажимах a-b активного двухполюсника при разомкнутой исследуемой ветви.

2. При разомкнутой исследуемой ветви определяется входное сопротивление активного двухполюсника, заменяемого при этом пассивным. Данная замена осуществляется путем устранения из структуры активного двухполюсника всех источников энергии, но при сохранении на их месте их собственных (внутренних) сопротивлений. В случае идеальных источников это соответствует закорачиванию всех источников ЭДС и размыканию всех ветвей с источниками тока.

Сказанное иллюстрируют схемы на рис. 3, где для расчета входного (эквивалентного) сопротивления активного двухполюсника на рис. 3,а последний преобразован в пассивный двухполюсник со структурой на рис. 3,б. Тогда согласно схеме на рис. 3,б

.

В качестве примера использования метода эквивалентного генератора для анализа определим зависимость показаний амперметра в схеме на рис. 4 при изменении сопротивления R переменного резистора в диагонали моста в пределах . Параметры цепи Е=100 В; R1=R4=40 Ом; R2=R3=60 Ом.

В соответствии с изложенной выше методикой определения параметров активного двухполюсника для нахождения значения перейдем к схеме на рис. 5, где напряжение на разомкнутых зажимах 1 и 2 определяет искомую ЭДС . В данной цепи

.

Для определения входного сопротивления активного двухполюсника трансформируем его в схему на рис. 6.

Со стороны зажимов 1-2 данного пассивного двухполюсника его сопротивление равно:

.

Таким образом, для показания амперметра в схеме на рис. 4 в соответствии с (1) можно записать

(2)

Задаваясь значениями R в пределах его изменения, на основании (2) получаем кривую на рис.7.

В качестве примера использования метода эквивалентного генератора для анализа цепи при синусоидальном питании определим, при каком значении нагрузочного сопротивления в цепи на рис. 8 в нем будет выделяться максимальная мощность, и чему она будет равна.

Параметры цепи: ; .

В соответствии с теоремой об активном двухполюснике обведенная пунктиром на рис. 8 часть схемы заменяется эквивалентным генератором с параметрами

В соответствии с (1) для тока через можно записать

откуда для модуля этого тока имеем

. (3)

Анализ полученного выражения (3) показывает, что ток I, а следовательно, и мощность будут максимальны, если ; откуда , причем знак “-” показывает, что нагрузка имеет емкостный характер.

Таким образом,

и  .

Данные соотношения аналогичны соответствующим выражениям в цепи постоянного тока, для которой, как известно, максимальная мощность на нагрузке выделяется в режиме согласованной нагрузки, условие которого .

Таким образом, искомые значения и максимальной мощности: .

 

Теорема вариаций

Теорема вариаций применяется в тех случаях, когда требуется рассчитать, насколько изменятся токи или напряжения в ветвях схемы, если в одной из ветвей этой схемы изменилось сопротивление.

Выделим на рис. 9,а некоторые ветви с токами и , а остальную часть схемы обозначим активным четырехполюсником А. При этом, полагаем что проводимости и известны.

Пусть сопротивление n-й ветви изменилось на . В результате этого токи в ветвях схемы будут соответственно равны и (рис. 9,б). На основании принципа компенсации заменим источником с ЭДС . Тогда в соответствии с принципом наложения можно считать, что приращения токов и вызваны в схеме на рис. 9,в, в которой активный четырехполюсник А заменен на пассивный П.

Для этой цепи можно записать

откуда

и  .

Полученные соотношения позволяют определить изменения токов в m-й и n-й ветвях, вызванные изменением сопротивления в n-й ветви.

 

Литература

  1. Основы теории цепей: Учеб. для вузов /Г.В.Зевеке, П.А.Ионкин, А.В.Нетушил, С.В.Страхов. –5-е изд., перераб. –М.: Энергоатомиздат, 1989. -528с.
  2. Бессонов Л.А. Теоретические основы электротехники: Электрические цепи. Учеб. для студентов электротехнических, энергетических и приборостроительных специальностей вузов. –7-е изд., перераб. и доп. –М.: Высш. шк., 1978. –528с.

Контрольные вопросы и задачи

  1. В каких случаях эффективно применение метода эквивалентного генератора?
  2. Как можно экспериментально определить параметры эквивалентного генератора?
  3. Как можно определить параметры активного двухполюсника расчетным путем?
  4. Как необходимо преобразовать исходную схему активного двухполюсника для расчета его входного сопротивления?
  5. В каких задачах используется теорема вариаций?
  6. В цепи на рис. 4 источник ЭДС Е замене на источник тока J=10 А. Определить показание амперметра, если R=0.
  7. Ответ: .

  8. Для полученного значения в цепи на рис. 8 методом эквивалентного генератора определить ток в ветви с этим сопротивлением, если катушка индуктивности в структуре активного двухполюсника заменена на конденсатор с сопротивлением .
  9. Ответ: .

    Пример 4.1 Определение магнитодвижущей силы цепи по заданной индукции в сечении магнитопровода

    На рисунке 4.2 изображен чертёж магнитной цепи, магнитный поток в которой создаётся намагничивающей обмоткой w. Для заданной магнитной цепи, имеющей а = 120 мм, b = 200 мм, с = 40 мм, l0 = 2 мм, В0=1,2 Тл, определить магнитодвижущую силу катушки. Рассчитать величину электромагнитной силы, действующей на проводник с током, находящийся в воздушном зазоре, если по этому проводнику протекает ток I=10 А. Направление тока в проводнике указано на рисунке. Показать на чертеже направление этой силы. Магнитопровод выполнен из электротехнической стали, кривая намагничивания которой приведена в виде таблицы А.1.

    Рисунок 4.2 – Чертёж магнитной цепи

    Решение. Проводим на чертеже магнитопровода среднюю магнитную силовую линию (на рисунке она изображена пунктиром) и разбиваем цепь на участки, на которых индукция и магнитная проницаемость неизменны. Таких участков в заданной цепи два. Первым может быть воздушный зазор, а вторым – магнитопровод. При переходе от воздушной среды к ферромагнитному материалу магнитопровода происходит изменение магнитной проницаемости, поэтому эти две части магнитной цепи должны принадлежать различным участкам. В рассматриваемом примере магнитопровод выполнен из одного материала, имеет одинаковое сечение, а следовательно, одинаковую магнитную проницаемость и индукцию. Данный факт позволяет оформить магнитопровод одним участком. Длина первого участка l1 (воздушного зазора), измеренная по средней магнитной линии (АБ), равна l0. Второй участок (АБВ) проходит по магнитопроводу и его длина

    l2 = 2(a – c) +2(b – c) – l 0 = 2(120 – 40) + 2(200 – 40) –2 = 478 мм = 0,478 м.

    Эквивалентная расчётная схема заданной магнитной цепи изображена на рисунке 4.1.

    На расчётной схеме с помощью элементов RM и R0 учитывается магнитное сопротивление магнитопровода и воздушного зазора. Источник питания соответствует искомой намагничивающей силе F, создающей в цепи магнитный поток Ф. Так как магнитное сопротивление ферромагнитных материалов нелинейно, то на схеме замещения оно должно изображаться в виде нелинейного элемента.

    По второму закону для магнитной цепи можно составить уравнение

    F = UМ1 + UМ2 = H1l1 + H2l2,

    где

    UМ1

    магнитное напряжение на первом участке;

    UМ2

    магнитное напряжение на втором участке;

    Н1

    напряжённость магнитного поля в воздушном зазоре;

    l1

    длина первого участка;

    Н2

    напряжённость магнитного поля в ферромагнитном материале;

    l2

    длина второго участка.

    Так как первым участком является воздушный зазор, то напряжённость поля на нём определяем из выражения

    H1 = B0 /μ0 = 1,2/4π · 10–7 = 9,55 · 105 А/м.

    Напряжённость магнитного поля на втором участке находим из таблицы А.1. В соответствии с этой таблицей для стали марки 1211 при индукции В2 = 1,2 Тл напряжённость поля Н2 = 8,43 А/см = 843 А/м.

    Mагнитодвижущая сила F катушки

    F = H1l1 + H2l2 = 9,55 · 105 · 2 · 10–3 + 843 · 0,478 = 2313 А .

    Величина электромагнитной силы FЭМ, действующей на проводник с током в воздушном зазоре,

    .

    В выражении для определения силы считается, что длина провода l равна толщине магнитопровода с.

    Направление магнитного потока в магнитопроводе определяем по правилу буравчика, которое надо применять для намагничивающей катушки w. В соответствии с этим правилом совмещаем буравчик с осью катушки. Если рукоятку буравчика вращать по направлению тока в намагничивающей катушке, то он будет перемещаться вверх. Так как это перемещение совпадает с направлением магнитного потока Ф в катушке w, то магнитный поток в магнитопроводе замыкается по часовой стрелке. В воздушном зазоре магнитные силовые линии направлены сверху вниз.

    Направление силы, действующей на проводник с током в воздушном зазоре, определяем по правилу левой руки. Для этого мысленно размещаем левую руку в воздушном зазоре так, чтобы магнитные силовые линии входили в ладонь, четыре вытянутых пальца направляем по направлению тока в проводнике, тогда большой палец укажет направление силы. Направление тока указывается условным знаком, проставляемым на торце проводника. Если в круге, обозначающем вид проводника с торца, размещается крестик, то в таком случае ток в проводнике направлен от нас. На рисунке 4.2 изображён именно такой случай. Если же ток в проводнике направлен к нам, то в центре круга проставляется точка. В рассматриваемом примере сила FЭМ направлена влево.

    Лекции по ТЕОРЕТИЧЕСКИМ ОСНОВАМ ЭЛЕКТРОТЕХНИКИ