Атомная физика | Физические законы механики | Термодинамика | Электричество | Магнетизм | Оптика | Молекулярная физика |
Математика 1 семестр | Математика 2 семестр | Математика 3 семестр | Математика 4 семестр | Интегралы | 1 курс

Лекции по ТЕОРЕТИЧЕСКИМ ОСНОВАМ ЭЛЕКТРОТЕХНИКИ

Лекция N 22

Линейные электрические цепи при несинусоидальных периодических токах

Предыдущие лекции были посвящены анализу электрических цепей при синусоидальных токах и напряжениях. На практике ЭДС и токи в большей или меньшей степени являются несинусоидальными. Это связано с тем, что реальные генераторы не обеспечивают, строго говоря, синусоидальной формы кривых напряжения, а с другой стороны, наличие нелинейных элементов в цепи обусловливает искажение формы токов даже при синусоидальных ЭДС источников.

На практике к несинусоидальности напряжений и токов следует подходить двояко:

В общем случае характер изменения величин может быть периодическим, почти периодическим и непериодическим. В данном разделе будут рассматриваться цепи только с периодическими переменными.

Периодическими несинусоидальными величинами называются переменные, изменяющиеся во времени по периодическому несинусоидальному закону. Причины возникновения несинусоидальных напряжений и токов могут быть обусловлены или несинусоидальностью источника питания или (и) наличием в цепи хотя бы одного нелинейного элемента. Кроме того, в основе появления несинусоидальных токов могут лежать элементы с периодически изменяющимися параметрами.

В качестве примера на рис. 1,а представлена цепь с нелинейным резистором (НР), нелинейная вольт-амперная характеристика (ВАХ) которого обусловливает несинусоидальную форму тока i в цепи при синусоидальном напряжении u на ее входе (см. рис. 1,б).

 

Характеристики несинусоидальных величин

Для характеристики несинусоидальных периодических переменных служат следующие величины и коэффициенты (приведены на примере периодического тока):

  1. Максимальное значение - .
  2. Действующее значение - .
  3. Среднее по модулю значение - .
  4. Среднее за период значение (постоянная составляющая) - .
  5. Коэффициент амплитуды (отношение максимального значения к действующему) - .
  6. Коэффициент формы (отношение действующего значения к среднему по модулю) - .
  7. Коэффициент искажений (отношение действующего значения первой гармоники к действующему значению переменной) - .
  8. Коэффициент гармоник (отношение действующего значения высших гармонических к действующему значению первой гармоники) - .

 

Разложение периодических несинусоидальных
кривых в ряд Фурье

Из математики известно, что всякая периодическая функция , где Т – период, удовлетворяющая условиям Дирихле, может быть разложена в тригонометрический ряд. Можно отметить, что функции, рассматриваемые в электротехнике, этим условиям удовлетворяют, в связи с чем проверку на их выполнение проводить не нужно.

При разложении в ряд Фурье функция представляется следующим образом:

 

  .(1)

 

Здесь   - постоянная составляющая или нулевая гармоника; - первая (основная) гармоника, изменяющаяся с угловой частотой , где Т – период несинусоидальной периодической функции.

В выражении (1) , где коэффициенты и определяются по формулам

;

.

 

Свойства периодических кривых, обладающих симметрией

Коэффициенты ряда Фурье для стандартных функций могут быть взяты из справочной литературы или в общем случае рассчитаны по приведенным выше формулам. Однако в случае кривых, обладающих симметрией, задача существенно упрощается, поскольку из их разложения выпадают целые спектры гармоник. Знание свойств таких кривых позволяет существенно сэкономить время и ресурсы при вычислениях.

  1. Кривые, симметричные относительно оси абсцисс.
  2. К данному типу относятся кривые, удовлетворяющие равенству (см. пример на рис. 2). В их разложении отсутствуют постоянная составляющая и четные гармоники, т.е. .

  3. Кривые, симметричные относительно оси ординат.
  4. К данному типу относятся кривые, для которых выполняется равенство (см. пример на рис. 3). В их разложении отсутствуют синусные составляющие, т.е. .

  5. Кривые, симметричные относительно начала координат.
  6. К этому типу относятся кривые, удовлетворяющие равенству (см. пример на рис. 4). При разложении таких кривых отсутствуют постоянная и косинусные составляющие, т.е. .

Действующее значение периодической несинусоидальной переменной

Как было показано выше, действующим называется среднеквадратичное за период значение величины:

.

При наличии аналитического выражения функции i(t) и возможности взятия интеграла от ее квадрата действующее значение i(t) определяется точно. Однако в общем случае на практике действующее значение переменной определяется на основе информации о действующих значениях конечного ряда гармонических.

Пусть . Тогда

Очевидно, что каждый из интегралов от тригонометрических функций в последнем выражении равен нулю. Таким образом,

или

.

Аналогичные выражения имеют место для ЭДС, напряжения и т.д.

 

Мощность в цепях периодического несинусоидального тока

Пусть и .

Тогда для активной мощности можно записать

.

Как было показано при выводе соотношения для действующего значения несинусоидальной переменной, среднее за период значение произведения синусоидальных функций различной частоты равно нулю. Следовательно,

,

где .

Таким образом, активная мощность несинусоидального тока равна сумме активных мощностей отдельных гармонических:

.

Аналогично для реактивной мощности можно записать

.

Полная мощность

,

где Т – мощность искажений, определяемая произведениями действующих значений разнопорядковых гармонических тока и напряжения.

 

Методика расчета линейных цепей при периодических

несинусоидальных токах

Возможность разложения периодических несинусоидальных функций в ряд Фурье позволяет свести расчет линейной цепи при воздействии на нее несинусоидальных ЭДС (или токов) источников к расчету цепей с постоянными и синусоидальными токами в отдельности для каждой гармоники. Мгновенные значения искомых токов и напряжений определяются на основе принципа наложения путем суммирования найденных при расчете гармонических составляющих напряжений и токов. В соответствии с вышесказанным цепь на рис. 5 при воздействии на нее ЭДС

(при расчете спектр рассматриваемых гармоник ограничивается) в расчетном плане представляется суммой цепей на рис. 6.

Здесь .

Тогда, например, для тока в ветви с источником ЭДС, имеем

,

где каждая к-я гармоника тока рассчитывается символическим методом по своей к-й расчетной схеме. При этом (поверхностный эффект не учитывается) для всех гармоник параметры и С постоянны.

;

.

Необходимо помнить, что ввиду различия частот суммировать комплексы различных гармоник недопустимо.

Таким образом, методика расчета линейных цепей при несинусоидальных токах сводится к следующему:

  1. ЭДС и токи источников раскладываются в ряды Фурье.
  2. Осуществляется расчет цепи в отдельности для каждой гармонической.
  3. Искомые величины определяются как алгебраические суммы соответствующих гармонических.

Литература

  1. Основы теории цепей: Учеб. для вузов /Г.В.Зевеке, П.А.Ионкин, А.В.Нетушил, С.В.Страхов. –5-е изд., перераб. –М.: Энергоатомиздат, 1989. -528с.
  2. Бессонов Л.А. Теоретические основы электротехники: Электрические цепи. Учеб. для студентов электротехнических, энергетических и приборостроительных специальностей вузов. –7-е изд., перераб. и доп. –М.: Высш. шк., 1978. –528с.
  3. Теоретические основы электротехники. Учеб. для вузов. В трех т. Под общ. ред. К.М.Поливанова. Т.1. К.М.Поливанов. Линейные электрические цепи с сосредоточенными постоянными. –М.: Энергия- 1972. –240с.

Контрольные вопросы

  1. Что является причиной появления несинусоидальных токов и напряжений в электрических цепях?
  2. Какие величины и коэффициенты характеризуют периодические несинусоидальные переменные?
  3. Какие гармонические отсутствуют в спектрах кривых, симметричных относительно: 1) оси абсцисс; 2) оси ординат;  3) начала системы координат?
  4. Достаточно ли для определения величины полной мощности в цепи несинусоидального тока наличие информации об активной и реактивной мощностях?
  5. Для каких цепей справедлива методика расчета цепей несинусоидального тока, основанная на разложении ЭДС и токов источников в ряды Фурье?
  6. Не прибегая к разложению в ряд Фурье, определить коэффициенты амплитуды и формы кривой на рис. 4.
  7. Ответ: .

  8. Определить действующее значение напряжения на зажимах ветви с последовательным соединением резистора с и катушки индуктивности с , если ток в ней . Рассчитать активную мощность в ветви.
  9. Ответ: U=218 В; Р=1260 Вт.

  10. Определить действующее значение тока в ветви с источником ЭДС в схеме на рис. 5, если ; .
  11. Ответ: I=5,5 A.

    Магнитное поле может возбуждаться постоянным магнитом или проводником с током, который чаще всеговыполняется навивается в виде катушки из изолированного провода (соленоида). Направление магнитного потока , создаваемого такой катушкой, можно определить правилом правоходового винта. Если такой винт расположить на оси катушки и начать вращать его по направлению протекания тока в обмотке соленоидаесоленоиде, то направление перемещения винта совпадёт с направлением магнитного потока.

    Закон электромагнитной силы Ампера устанавливает взаимосвязь между током в проводнике и силой, действующей на этот проводник, если последний находится в равномерном магнитном поле. В соответствии с этим законом на прямолинейный проводник с электрическим током, помещённый в равномерное магнитное поле, действует сила

    Fэм = BIlsin α ,  (4.7)

    где

    B

    магнитная индукция;

    I

    сила тока в проводнике;

    l

    длина проводника;

    α

    угол между током и магнитной индукцией.

    Направление силы Ампера, действующей на проводник с током, определяется правилом левой руки. В соответствии с этим правилом силовые магнитные линии должны входить в ладонь левой руки, четыре вытянутых пальца необходимо направить по направлению тока в проводнике, тогда отведённый в сторону большой палец укажет направление действия силы.

    Задачей расчета магнитной цепи является определение значения магнитодвижущей силы F, необходимой для создания магнитного потока Ф или индукции В заданной величины в рабочем пространстве (прямая задача). Иногда приходится решать и обратную задачу, когда по заданному значению магнитодвижущей силы требуется определить величину магнитного потока или индукции на участке магнитной цепи ( например, в воздушном зазоре).

    Так как магнитная цепь является нелинейным устройством, то для её расчёта не всегда можно непосредственно применять законы Ома и Кирхгофа. В этом случае для расчёта таких устройств можно использовать методы анализа нелинейных цепей.

Лекции по ТЕОРЕТИЧЕСКИМ ОСНОВАМ ЭЛЕКТРОТЕХНИКИ