Инженерная графика
Физика
Атомные станции
Строймех
ТКМ
Начертательная геометрия
Экология энергетики
Сопромат
Готика
Черчение
Теплотехника
Математика

Театр

Конспект лекций
Атомная энергетика
Карта

Ядерная физика начало

§1.7. Возбужденные состояния ядер

Возбуждение ядра – сообщение ядру дополнительной энергии, в результате чего увеличивается его внутренняя энергия, и ядро переходит из основного состояния в возбужденное. Ядро является квантовой системой взаимодействующих нуклонов и имеет строго определенный и дискретный набор разрешенных энергетических состояний. Уровни возбуждения бывают одночастичными и коллективными. Наименьшее количество энергии, которое может поглотить ядро, соответствует его первому возбужденному уровню. Переход на первый возбужденный уровень у легких ядер чаще всего представляет собой переход одного нуклона в ближайшее незанятое состояние. У тяжелых ядер переход на первый возбужденный уровень обычно связан с возбуждением колебаний всего ядра или вращением ядра как целого, то есть с проявлением коллективного взаимодействия нуклонов в ядре.

На рис.1.7.1изображены типичные схемы возбужденных уровней легкого и тяжелого ядер. Система энергетических уровней ядра называется энергетическим спектром ядра. Энергия каждого уровня обозначается слева, а спин и четность (см. §1.8) данного состояния справа. Совокупность значений этих величин называется характеристикой уровня. Первый возбужденный уровень E1 легких ядер (А < 50) расположен при энергии ~ 1 МэВ, у тяжелых (А > 200) ~ 0,1 МэВ. Спины ядер в возбужденных состояниях могут отличаться от спинов в основном состоянии.

Все возбужденные уровни не являются строго моноэнергетическими, а имеют конечную ширину Г, которая связана со средним временем t жизни ядра в данном возбужденном состоянии соотношением неопределенностей:

(1.7.1)

Типичная величина t ~ 10-14 с. Этому значению t соответствует Г ~ 0,1 эВ. Однако бывают величины t и Г на много отличающиеся от этих. Следует подчеркнуть, что среднее время жизни ядра в возбужден­ном состоянии велико по сравнению с характерным временем ядерного взаимодействия (~ 10-23с, см. (1.9.17)), то есть по ядерным масштабам времени возбужденное ядро живет весьма долго.

На рис. 1.7.1 (в кружке) показана в увеличенном виде структура уровней. Распределение W(E) представляет собой плотность вероятности образования возбужденного состояния ядра от энергии. Ширина уровня Г определяется на половине высоты этого распределения.

Понятие уровня, а тем самым и его характеристики, имеют смысл до тех пор, пока ширина Г уровня не превышает расстояния D между соседними уровнями, т.е. пока уровни не перекрываются. Поэтому условие существования уровня имеет следующий вид:

.

(1.7.2)

При выполнении условия (1.7.2) характеристики стабильных ядер можно вводить и для нестабильных ядер, а также для стабильных ядер, находящихся в возбужденном состоянии.

С ростом энергии возбуждения расстояние между уровнями в среднем экспоненциально уменьшается. Одновременно уменьшается среднее время жизни τ уровня и в соответствии с (1.7.1) растет ширина уровней Г . В результате при некоторых значениях энергии возбуждения ширина уровней становится сравнимой с расстоянием между соседними уровнями и при дальнейшем увеличении энергии возбуждения уровни сольются и станут, а энергетический спектр ядра в этой области энергий становится сплошным. Для тесно расположенных уровней можно говорить оплотности уровней - числе уровней, приходящихся на единичный интервал энергии.

Если энергия возбуждения ядра меньше энергии связи нуклона, то переход в основное состояние происходит с испусканием g-кванта, или последовательного каскада g-квантов, которые уносят из ядра энергию возбуждения. Так как интенсивность электромагнитных сил (см. §1.9 п.3) много меньше ядерных, то и процессы под их действием протекают существенно медленнее. Поэтому, если энергия возбуждения превышает энергию отделения нуклона, то переход в основное состояние будет происходить преимущественно с испусканием нуклона (чаще всего нейтрона, так как для него отсутствует кулоновский барьер). При этом надо помнить, что возникающее конечное ядро не имеет ничего общего с начальным ядром.

Модель Дебая

В этой модели, как и в модели Эйнштейна, рассматривается изотропная среда, но учитывается дисперсия упругих волн.

Число стоячих волн, т. е. нормальных колебаний, частоты которых заключены в интервале от ω до ω + d ω, приходящихся на единицу объема V кристалла равно (см. (14.20))

(14.30)

где υ — фазовая скорость волны в кристалле. При выводе этой формулы предполагалось, что ω = υk, т.е. упругие волны имеют линейный закон дисперсии.

Формула (14.30) не учитывает возможных видов поляризации волны. В твердой среде вдоль некоторого направления могут распространяться три разные волны с одним и тем же значением ω, различающиеся направлением поляризации: одна продольная и две поперечные с взаимно перпендикулярными направлениями колебаний. В соответствии с этим формулу (14.30) нужно видоизменить следующим образом:

Здесь υ||— фазовая скорость продольных, a υ^ — поперечных упругих волн. Положим для простоты, что υ|| = υ^ = υ. Тогда

(14.31)

Максимальную частоту ωт нормальных колебаний решетки можно найти, приравняв полное число колебаний числу степеней свободы, равному 3n (n — число атомов в единице объема кристалла; расчет производится для единицы объема):

Отсюда

(14.32)

В соответствии с(14.32) наименьшая длина волны, возбуждаемая в кристалле, оказывается равной

где d — расстояние между соседними атомами в решетке. Этот результат согласуется с тем, что волны, длина ко­торых меньше удвоенного межатомного расстояния, не имеют физического смысла.

Исключив из равенств (14.31) и (14.32) скорость υ, получим для числа нормальных колебаний dNω в интервале частот dω, приходящегося на единицу объема кристалла, следующее выражение

(14.33)

Внутренняя энергия единицы объема кристалла может быть представлена в виде

где <ε(ω)> — среднее значение энергии нормального колебания частоты ω. Подставив выражение (14.27) для <ε(ω)> и (14.33) для dNω придем к формуле

(14.34)

Здесь U0 = Зп((3/8)ћωm) — энергия нулевых колебаний кристалла.

Производная от U по Т дает теплоемкость единицы объема кристалла

Величину Θ, определяемую условием

ћωm = k Θ,

 на­зывают характеристической температурой Дебая. Температура Дебая указывает для каждого вещества ту область, где становится существенным квантование энергии колебаний.

Введем переменную х = ћω/kТ. Тогда выражение для теплоемкости примет вид

(14.35)

где хт = ћωm/ kТ = Θ/Т. При Т << Θ верхний предел интеграла будет очень большим, так что его можно приближенно положить равным бесконечности (хт ≈ ∞). Тогда интеграл будет представлять собой некоторое число, и теплоемкость С окажется пропорциональной кубу тем­пературы: С ~ T 3. Эта приближенная зависимость известна как закон Т 3 Дебая. При достаточно низких температурах этот закон выполняется во многих случаях очень хорошо.

При Т >> Θ, т. е. при ћωm/ kТ << 1, формулу (14/34) можно упростить, положив ехр(ћω/kТ) ≈ 1 + ћω/kТ. То­гда для внутренней энергии получается выражение

а для теплоемкости — значение С = 3пk, фигурирующее в законе Дюлонга и Пти.

О согласии теории Дебая с опытом можно судить по рис. 14.3, на котором приведены данные для теплоемкости алюминия (Θ = 396 К) и меди (Θ = 309 К); С∞ — классическое значение теплоемкости, получающееся из квантовых формул при Т → ∞. Кривые построены по формуле (14.35), кружками показаны экспериментальные точки.

Формула Дебая хорошо передает ход теплоемкости с температурой лишь для тел с простыми кристаллически­ми решетками, т. е. для химических элементов и некоторых

простых соединений.

Рис. 14.3.

К телам с более сложной структурой формула Дебая неприменима. Это объясняется тем, что у таких тел спектр колебаний оказывается чрезвычайно сложным. В рассмотренном нами выше случае простой кристаллической решетки (у которой в элементарной ячейке содержится только один атом) каждому значению волнового вектора k соответствовали три значения собственной частоты колебаний решетки (одно для продольной и два значения для поперечных волн). Если число атомов в элементарной ячейке кристалла равно r, каждому значению k соответствует в общем случае 3r различных значений ω; следовательно, частота является много многозначной функцией волнового вектора, обладающей 3r ветвями. Так, например, в случае одномерной цепочки, построенной из чередующихся атомов двух сортов (r = 2), зависимость ω от k имеет вид, показанный на рис. 14.4. Одна из ветвей называется акустической, другая — оптической. Эти ветви различаются дисперсией, т. е. характером зависимости ω от k. Акустическая ветвь при убывании k идет в нуль, оптическая ветвь имеет своим пределом конечное значение ω20.

Рис. 14.4.

В трехмерном случае из 3r ветвей три являются акустическими, остальные (3r - 3) — оптическими. Акустическим ветвям соответствуют звуковые частоты, оптическим — частоты, лежащие в инфракрасной области спектра. При нормальном колебании акустической частоты колеблются относительно друг друга аналогичные атомы, помещающиеся в различных элементарных ячейках. При нормальных колебаниях оптической частоты колеблются относительно друг друга различные атомы внутри каждой из элементарных ячеек; аналогичные атомы различных ячеек находятся при этом на неизменных расстояниях друг от друга.

 

§1.7. Возбужденные состояния ядер