Инженерная графика
Физика
Атомные станции
Строймех
ТКМ
Начертательная геометрия
Экология энергетики
Сопромат
Готика
Черчение
Теплотехника
Математика

Театр

Конспект лекций
Атомная энергетика
Карта

Ядерная физика начало

§2.1. Необходимость и классификация моделей

Атомное ядро представляет сложную многочастичную квантовую систему с сильным взаимодействием, обладающее чрезвычайно большим количеством свойств, порой противоречивых, и с теоретической точки зрения – объект исключительно сложный. Поэтому попытка создания последовательной и единой теории ядра сталкивается с целым рядом трудностей. При переходе от атома к ядру оказывается, что мы не располагаем достаточными знаниями о свойствах ядерных сил во всех деталях, необходимых для построения такой же законченной математической теории, как строение атома. Между частицами в атоме действуют электромагнитные силы, теория которых хорошо разработана и согласуется с экспериментом. Но предположив, что характер ядерных сил, действующих между нуклонами известен, остается проблема решения квантовой задачи многих тел, которая к настоящему времени не решена даже в случае трех тел. В этих условиях силы взаимодействия между нуклонами приходится подбирать путем подгонки к известным экспериментальным данным с помощью феноменологических постоянных и модельных зависимостей.

Из всего сказанного следует, что теория атомного ядра должна с необходимостью идти по пути создания ядерных моделей, предназначенных для описания выбранной совокупности ядерных свойств или явлений сравнительно простыми математическими способами с минимальным количеством определяемых параметров. Такой подход неизбежен уже потому, что природные объекты имеют бесконечное количество свойств и связей. Ценность любой модели определяется количеством необходимых параметров и возможностью предсказания новых свойств ядер или объяснения уже имеющихся. Но при этом, разумеется, любая модель обладает ограниченными возможностями и не может дать полного описания всех свойств ядра. В результате в ядерной физике приходится прибегать к большому числу моделей, приспособленных для описания ограниченного круга той или иной совокупности явлений, но которые вместе отвечают современному уровню наших знаний о ядре.

С теоретической точки зрения в основу любой модели кладут допущение о приближенной независимости какого-либо набора степеней свободы для выбранного объекта. Степени свободы можно классифицировать на одночастичные, отвечающие независимому движению отдельных нуклонов, и коллективные, соответствующие согласованному движению большого числа частиц.

Здесь будут рассмотрены две модели: капельная, основанная на коллективных степенях свободы, и оболочечная, использующая одночастичное описание движения нуклонов.

Частица в потенциальном ящике.

Квантование энергии

Рассмотрение частицы в потенциальном ящике — одномерной прямоугольной потенциальной яме с бесконечно высокими стенками — имеет большое значение, так как потенциальная яма есть первое приближение силового поля, связывающего электроны в атоме, а также атомы в кристаллической решетке.

Потенциальная энергия частицы, например электрона, вне и внутри потенциального ящика (рис. 12) в предположении ее движения вдоль оси х имеет следующие значения:

где l — ширина ямы, а энергия отсчитывается от дна ямы.

Рис. 12.2.

Пси-функция частицы зависит только от координаты х, поэтому стационарное уравнение Шредингера [см. (12.16)] имеет вид

(12.17)

Частица за пределы ямы не проникает, т. е. в об­ластях х < 0 и х > l функция ψ(х) ≡ 0, а из условия непрерывности следует, что и на границах ямы

(12.18)

В пределах ямы (0 < х < l) уравнение Шредингера (12.17) сведется к уравнению

(12.19)

где

(12.20)

Общее решение уравнения (12.19) имеет вид

(12.21)

где а и α — произвольные постоянные.

Теперь нужно потребовать от функции ψ(х), чтобы она удовлетворяла естественным (стандартным) условиям. Видно, что ψ(х) в виде (12.21) однозначна и конечна. Она должна быть еще и непрерывной, а именно, вне ямы частица быть не может, значит там ψ(х)  = 0, и для непрерывности ψ-функции необходимо, чтобы при х = 0 и х = l функция (12.21) была бы равна нулю. Из условия

следует, что α = 0. Из условия же

свою очередь следует, что kl= πn, где п — целые числа, т. е. необходимо, чтобы

(12.22)

(п = 0 отпадает, так как при этом ψ(х) = 0 — частицы вообще нет, а отрицательные значения п приводят к тем же функциям, что и для положительных n, но с отрицательным знаком, что не дает новых физических решений).

Исключив k из уравнений (12.20) и (12.22), найдем собственные значения энергии частицы:

(12.23)

т. е. спектр энергии частицы является дискретным (или квантованным). Квантованные значения Е называют уровнями энергии, а число и, их определяющее, — главным квантовым числом.

Итак, собственные значения Е найдены — это (12.23). Теперь найдем соответствующие им собственные функции. Для этого подставим значения k из (12.22) в (12.21), где α = 0, тогда

Для нахождения коэффициента а воспользуемся условием нормировки (12.9), которое в данном случае запишется следующим образом:

На концах промежутка интегрирования подынтегральная функция обращается в нуль. Поэтому значение интеграла можно получить, умножив среднее значение sin2 (nπx/l) (равное 1/2) на длину промежутка l. В результате получим а2l/2 = 1, откуда а = √(2/l). Таким образом, собственные функции имеют вид

(12.24)

Из формулы (12.23) следует, что существует минимальная, не равная нулю энергия

соответствующая основному состоянию частицы. Волновая функция основного состояния

ψ1(х) = а sin πx/l

В отличие от классики минимальное значение энергии Е частицы в яме согласно (12.23) не равно нулю. Это полностью согласуется с принципом неопределенности. Ведь у частицы в яме ограничена область возможных значений ее координаты, поэтому должен существовать разброс по импульсам, а значит, отлична от нуля и энергия. Состояние с энергией Е1, называют основным состоянием, а остальные состояния — возбужденными.

На рис. 12.3 изображены уровни энергии частицы в одномерной прямоугольной потенциальной яме с бесконечно высокими стенками. Здесь же представлены для n = 1, 2, 3 собственные функции (12.24) и плотности вероятности обнаружения частицы на различных расстояниях от стенок ямы, равные |ψn (x)|2 = ψn*(х) ψn(х).

Рис. 12.3.

 Из графиков, например, следует, что в состоянии с п = 2 частица не может быть обнаружена в середине ямы и вместе с тем одинаково часто бывает как в левой, так и в правой половине ямы. Такое поведение частицы, очевидно, несовместимо с представлением о траекториях. Отметим, что согласно классическим представлениям все положения частицы в яме равновероятны. Несколько другой вид этих же графиков показан на рис. 12.4, где собственные функции обозначены пунктирными линиями, а распределение плотности вероятности — сплошными. Из этих графиков видно, что в низшем энергетическом состоянии (п = 1) с наибольшей вероятностью частицу можно обнаружить в середине ямы, а вероятность нахождения ее вблизи краев ямы весьма мала. Такое поведение частицы резко отличается от поведения классической частицы.

Рис. 12.4.

С увеличением же энергии (т. е. с ростом квантового числа п) максимумы распределения ψ2n(х) располагаются все ближе друг к другу. При очень больших значениях п картина распределения ψ2n(х) практически «сливается» и представляется равномерным — частица начинает вести себя совсем «как классическая».

§2.1. Необходимость и классификация моделей