Основы молекулярной и статической физики

Строймех
Сопромат
Математика

Театр

Карта


Термодинамика

Уравнение Шредингера

 Содержание

Оператор Гамильтона.

Принцип причинности в квантовой механике. Временное уравнение Шредингера.

Стационарные состояния.

Оператор временной эволюции.

Представления Шредингера и Гейзенберга.

Представление взаимодействия.

Уравнение непрерывности в квантовой механике.

Теорема Эренфеста. Квантовое уравнение Ньютона.

Квантовые скобки Пуассона.

Интегралы движения.

Калибровочное преобразование потенциалов поля и волновой функции.

Оператор Гамильтона

Полная энергия частицы массы  в классической механике определяется формулами

,

где  и  - кинетическая и потенциальная энергии. Согласно общему правилу построения операторов физических величин, полной энергии   отвечает оператор

 (1)

(в последнем равенстве учтено, что  зависит только от координат, причём  и т.д.). Отметим, что операторы и  не коммутируют между собой и поэтому одновременно измерить порознь кинетическую и потенциальную энергию невозможно. Полная энергия должна измеряться непосредственно, как единое целое. Возможные значения полной энергии совпадают с собственными значениями  оператора , который называется оператором полной энергии или оператором Гамильтона. Состояние квантовой системы, в котором её энергия строго определена, называется стационарным. Стационарное состояние описывается волновой функцией, которая является собственной функцией оператора Гамильтона. Задача на собственные значения для оператора Гамильтона,

, (2)

называется уравнением Шредингера для стационарных состояний. Индексом  в (2) обозначена совокупность параметров, характеризующих состояние. Эти параметры называются квантовыми числами состояния. Стационарное состояние квантовой системы с наименьшей энергией называется основным. Остальные состояния называются возбуждёнными.

Запишем оператор Гамильтона, описывающий взаимодействие частиц с электромагнитным полем. Как известно, классическая функция Гамильтона  частицы в электромагнитном поле записывается с помощью скалярного и векторного потенциалов:

, (3)

где  и  - скалярный и векторный потенциалы, описывающие электромагнитное поле:

. (4)

Здесь  - обобщённый импульс, . Правильный оператор Гамильтона получим из выражения (3), если в нём выполним замену . Если помимо электромагнитных сил имеются и другие силы, описываемые силовой функцией  (потенциальной энергией), то оператор Гамильтона будет иметь вид:

. (5)

Совокупность собственных значений  образует энергетический спектр системы. О собственных значениях энергии системы говорят как об уровнях энергии (энергетических уровнях) этой системы. Если уровню энергии  отвечает единственная волновая функция, то уровень энергии называется невырожденным. Уровень называется вырожденным, если ему соответствует несколько различных стационарных состояний. Число различных стационарных состояний, отвечающих одной и той же энергии, называется кратностью вырождения уровня.

Принцип причинности в квантовой механике.

Временное уравнение Шредингера

Согласно основному постулату квантовой механики, волновая функция  полностью описывает поведение системы. Это значит, что, зная волновую функцию в момент времени , можно определить волновую функцию в следующий момент времени . Нахождение волновой функции в момент времени   по известной волновой функции в предыдущий момент  составляет основную задачу квантовой динамики. Для решения этой задачи нужно знать временное уравнение, описывающее изменение во времени (временную эволюцию) волновой функции.

Итак, мы должны иметь возможность определить волновую функцию по известной волновой функции . Это требование выражает собой принцип причинности (динамический принцип) в квантовой механике: состояние микросистемы в начальный момент времени и закон действия физических полей на микрочастицу в этот момент полностью определяют ее состояние в последующие моменты времени.

Чтобы учесть принцип причинности, разложим волновую функцию в ряд Тейлора по степеням :

 .

В силу принципа причинности величина  должна выражаться через , т.е. должно выполняться равенство:

, (6)

где  - некоторый оператор, учитывающий взаимодействие частицы с внешними полями. Равенство (6) является основным уравнением квантовой динамики, определяющим временную эволюцию волновой функции.

Вид оператора  может быть только постулирован, его вывести невозможно. Подсказку относительно вида этого оператора можно получить при рассмотрении свободного движения микрочастицы. Волновая функция такого движения - это волна де Бройля:

.

Здесь мы учли математическую формулировку корпускулярно-волнового дуализма (см. (11) из Лекции 1): . Прямая проверка показывает, что функция   подчиняется уравнению:

 , 

где . Значит, для свободного движения . В квантовой механике этот частный результат обобщается на случай любой квантовой системы, т.е. принимается, что для произвольной микросистемы

, (7)

где  - оператор Гамильтона.

В результате приходим к временному уравнению Шредингера:

. (8)

Это основное уравнение движения квантовой механики. в квантовой механике оно играет такую же роль, какую уравнения Ньютона играют в классической.

Задача Коши для уравнения (8) состоит в том, чтобы найти такое решение уравнения движения (8), которое подчиняется начальному условию:

 ,

где  - заданная функция координат. Отметим, что в начальный момент времени  должна быть задана функция во всем пространстве.