Инженерная графика
Физика
Атомные станции
Строймех
ТКМ
Начертательная геометрия
Экология энергетики
Сопромат
Готика
Черчение
Теплотехника
Математика

Театр

Конспект лекций
Атомная энергетика
Карта

Волновая оптика Квантовая оптика Колебания начало

14.3. Сложение колебаний


14.3.1. Векторная диаграмма

 

Векторная диаграмма - это способ графического задания колебательного движения в виде вектора. Исследование биполярных транзисторов Цель работы: изучение принципа действия, исследование статических характеристик и определение дифференциальных параметров биполярных транзисторов, включенных по схемам: общая база (ОБ) и общий эмиттер (ОЭ)

Аналитическое задание колебательного движения  Графическое задание колебательного движения

Вдоль горизонтальной оси откладывается колеблющаяся величина ξ (любой физической природы). Вектор , отложенный из точки 0 равен по модулю амплитуде колебания A и направлен под углом α , равным начальной фазе колебания, к оси ξ. Если привести этот вектор во вращение с угловой скоростью ω , равной циклической частоте колебаний, то проекция этого вектора на ось ξ дает значение колеблющейся величины в произвольный момент времени.

14.3.2. Сложение колебаний одинаковой частоты и одинакового направления

Пусть складывается два колебания:

строим векторные диаграммы и складываем векторы:

По теореме косинусов .

Так как

,

то

.

Очевидно (см. диаграмму), что начальная фаза результирующего колебания определяется соотношением:

.


14.3.3. Сложение колебаний близких частот

Пусть складывается два колебания с почти одинаковыми частотами, т.е.

,      .

Из тригонометрии:  . Применяя к нашему случаю, получим:



 

График результирующего колебания - график биений, т.е. почти гармонических колебаний частоты ω, амплитуда которых медленно меняется с частотой Δω .

Амплитуда из-за наличия знака модуля (амплитуда всегда > 0) частота с которой изменяется амплитуда, равна не Δω / 2 , а в два раза выше - Δω.

14.3.4. Сложение взаимно-перпендикулярных колебаний

Пусть маленькое тело колеблется на взаимно-перпендикулярных пружинках одинаковой жесткости. По какой траектории будет двигаться это тело?

  

Это уравнения траектории в параметрическом виде.

Для получения явной зависимости между координатами x и y надо из уравнений исключить параметр t.



Из первого уравнения:

;           .

Из второго:

.

После подстановки:      .

Избавимся от корня:

.

  - это уравнение эллипса.


Частные случаи:








14.4. Затухающие колебания

Рассмотрим колебания, происходящие в двух системах:

а) колебания заряда в колебательном контуре L,C, имеющем активное сопротивление R;

б) колебание грузика, прикрепленного к пружинке, учтем влияние трения на движение грузика.

14.4.1. Колеблющиеся системы



14.4.2. Законы движения

Закон Ома для неоднородного участка цепи (10.7):Второй закон Ньютона (4.6):
  


14.4.3. Применение законов движения, с учетом особенности наших систем



Или, используя другое обозначение производной:
  

14.4.4. Введем обозначения:

 

14.4.5. Дифференциальное уравнение, описывающее затухающие колебания наших двух систем в этих обозначениях будет иметь один и тот же вид

.

14.4.6. Решение

Каким будет его решение? При    (отсутствие сопротивления, трения) оно должно переходить в    (см. 14.2).

Наличие затухания, потерь энергии, переход ее из электромагнитной или механической в тепловую приведет к уменьшению амплитуды колебаний с течением времени, станет другой, меньшей чем ω0, и частота колебаний.

Предположим, что амплитуда убывает по экспоненциальному закону, т.е. A(t) = A0·e-βt(e=2,71828...),

тогда решение будем искать в виде:

.

14.4.7. Проверка

Выясним, при каких условиях эта функция будет решением, для этого найдем и подставим в дифференциальное уравнение.

Сгруппируем члены с косинусом и синусом, на A0e-βt сократим:

.

Для тождественного обращения левой части в ноль надо, что бы коэффициент при косинусе обращался в ноль (коэффициент при синусе обратился в ноль, т.к. мы "удачно" выбрали A(t) = A0-βt). Из этого требования следует выражение для - ω частоты затухающих колебаний.



14.4.8. Частота затухающих колебаний

.



14.4.9. Период затухающих колебаний

.



14.4.10. График затухающих колебаний



14.4.11. Переход к апериодическому движению

При увеличении коэффициента затухания β период затухающих колебаний (14.4.9) растет, при β → ω0период T → ∞ . При β > ω0 периодическое решение у дифференциального уравнения затухающих колебаний отсутствует:



14.4.12. Логарифмический декремент затухания

,

подставим A(t) = A0-βt.

.

 

14.4.13. Время релаксации

Время релаксации - это время τ, за которое амплитуда уменьшилась в e=2,7... раз, т.е.  ,  тогда   .

.

Т.к.    - число колебаний за время , то:

.



14.4.14. Добротность

.

В прошлом веке была широко распространена гипотеза эфира, мировой всепроникающей среды, заполняющей все пространство. Эфир, как носитель света, должен обладать многими удивительными свойствами: с одной стороны, он должен быть чрезвычайно «тонким», невесомым, чтобы не препятствовать движению микрочастиц и небесных тел, с другой стороны, он должен быть невероятно «жестким», чтобы передавать поперечные волны света со скоростью в сотни тысяч километров в секунду. Возможная для него частота колебаний должна охватывать весь диапазон, практически от нуля до многих триллионов (1018) в секунду. Но во второй половине XIX века трудами Сен-Венана, Релея и Столетова было выяснено, что подобные требования к веществу совершенно несовместимы.

Было сделано много попыток спасти гипотезу эфира за счет, усложнения его гипотетических свойств, но, как писал С.И. Вавилов, «Под натиском опытных данных концепция эфира стала столь громоздкой и неопределенной, что в пользу ее трудно аргументировать даже тем, что она дает довольно наглядный образ явлений. Как и во времена Ньютона, мы также мало знаем «что такое эфир», а пожалуй даже меньше, чем тогда» [2].

На смену гипотезе эфира пришла электромагнитная теория Максвелла. Она имела то преимущество, что заменяла явно дискредитированный эфир новым понятием - «электромагнитное поле». Это понятие не имело аналогов в зрительно наблюдаемом мире и потому позволяло приписывать себе желаемые свойства «ad hoc», в том числе и способность передавать световые и электромагнитные волны со скоростью в 300 раз большей, чем у наиболее быстрых из известных космических тел (комета Когоутека).

Теория Максвелла при малых скоростях и в статике отлично описывала все известные к тому времени электромагнитные явления, но и старая эфирно-волновая теория имела много привлекательных черт. Нужен был такой решающий эксперимент, который мог бы подтвердить справедливость только одной из конкурирующих теорий.

И Максвелл нашел такую схему. Идея опыта основывалась на том, что квадрат скорости любой упругой волны равен только отношению модуля упругости к удельной плотности вещества среды распространения, но не зависит от движения источника. Если эфир, как материальная среда, существует, то представляется возможность опытного измерения абсолютной скорости Земли в мировом пространстве. Для этого достаточно найти скорость распространения света от земного источника в направлении движения Земли и в противоположном направлении и взять полуразность амплитуд ее значения. Этим будет подтверждена эфирно-волновая теория.

Если же справедливы исходные идеи теории Максвелла, то электромагнитное поле, созданное каким-либо источником, останется с ним жестко связанным и будет перемещаться вместе с ним. Поэтому и колебания в нем должны распространяться со скоростью, постоянной относительно источника в момент излучения, как бы он после этого ни двигался. Такого результата явно и ожидал Максвелл.

К сожалению, опыт, им предложенный, был поставлен Майкельсоном лишь спустя шестнадцать лет после предложения и через два года после смерти инициатора (1879 г.). При жизни Максвелл не имел возможности убедиться сам в результатах опыта и доказать современникам, насколько он был прав!

Экспериментатор же и его современники не восприняли идею Максвелла, оставаясь в плену эфирных представлений Гюйгенса, Физо и др. Вместо того, чтобы принять простое и убедительное объяснение, даваемое электромагнитной теорией, они продолжали настаивать на постоянстве скорости света относительно мирового эфира, хотя обнаружить последний никак не удавалось.

14.3. Сложение колебаний