Атомная физика | Физические законы механики | Термодинамика | Электричество | Магнетизм | Оптика | Молекулярная физика | Физмат.ру
Математика 1 семестр | Математика 2 семестр | Математика 3 семестр | Математика 4 семестр | Интегралы | 1 курс

Волновая оптика Квантовая оптика Колебания начало

14.3. Сложение колебаний


14.3.1. Векторная диаграмма

 

Векторная диаграмма - это способ графического задания колебательного движения в виде вектора. Исследование биполярных транзисторов Цель работы: изучение принципа действия, исследование статических характеристик и определение дифференциальных параметров биполярных транзисторов, включенных по схемам: общая база (ОБ) и общий эмиттер (ОЭ)

Аналитическое задание колебательного движения  Графическое задание колебательного движения

Вдоль горизонтальной оси откладывается колеблющаяся величина ξ (любой физической природы). Вектор , отложенный из точки 0 равен по модулю амплитуде колебания A и направлен под углом α , равным начальной фазе колебания, к оси ξ. Если привести этот вектор во вращение с угловой скоростью ω , равной циклической частоте колебаний, то проекция этого вектора на ось ξ дает значение колеблющейся величины в произвольный момент времени.

14.3.2. Сложение колебаний одинаковой частоты и одинакового направления

Пусть складывается два колебания:

строим векторные диаграммы и складываем векторы:

По теореме косинусов .

Так как

,

то

.

Очевидно (см. диаграмму), что начальная фаза результирующего колебания определяется соотношением:

.


14.3.3. Сложение колебаний близких частот

Пусть складывается два колебания с почти одинаковыми частотами, т.е.

,      .

Из тригонометрии:  . Применяя к нашему случаю, получим:



 

График результирующего колебания - график биений, т.е. почти гармонических колебаний частоты ω, амплитуда которых медленно меняется с частотой Δω .

Амплитуда из-за наличия знака модуля (амплитуда всегда > 0) частота с которой изменяется амплитуда, равна не Δω / 2 , а в два раза выше - Δω.

14.3.4. Сложение взаимно-перпендикулярных колебаний

Пусть маленькое тело колеблется на взаимно-перпендикулярных пружинках одинаковой жесткости. По какой траектории будет двигаться это тело?

  

Это уравнения траектории в параметрическом виде.

Для получения явной зависимости между координатами x и y надо из уравнений исключить параметр t.



Из первого уравнения:

;           .

Из второго:

.

После подстановки:      .

Избавимся от корня:

.

  - это уравнение эллипса.


Частные случаи:








14.4. Затухающие колебания

Рассмотрим колебания, происходящие в двух системах:

а) колебания заряда в колебательном контуре L,C, имеющем активное сопротивление R;

б) колебание грузика, прикрепленного к пружинке, учтем влияние трения на движение грузика.

14.4.1. Колеблющиеся системы



14.4.2. Законы движения

Закон Ома для неоднородного участка цепи (10.7):Второй закон Ньютона (4.6):
  


14.4.3. Применение законов движения, с учетом особенности наших систем



Или, используя другое обозначение производной:
  

14.4.4. Введем обозначения:

 

14.4.5. Дифференциальное уравнение, описывающее затухающие колебания наших двух систем в этих обозначениях будет иметь один и тот же вид

.

14.4.6. Решение

Каким будет его решение? При    (отсутствие сопротивления, трения) оно должно переходить в    (см. 14.2).

Наличие затухания, потерь энергии, переход ее из электромагнитной или механической в тепловую приведет к уменьшению амплитуды колебаний с течением времени, станет другой, меньшей чем ω0, и частота колебаний.

Предположим, что амплитуда убывает по экспоненциальному закону, т.е. A(t) = A0·e-βt(e=2,71828...),

тогда решение будем искать в виде:

.

14.4.7. Проверка

Выясним, при каких условиях эта функция будет решением, для этого найдем и подставим в дифференциальное уравнение.

Сгруппируем члены с косинусом и синусом, на A0e-βt сократим:

.

Для тождественного обращения левой части в ноль надо, что бы коэффициент при косинусе обращался в ноль (коэффициент при синусе обратился в ноль, т.к. мы "удачно" выбрали A(t) = A0-βt). Из этого требования следует выражение для - ω частоты затухающих колебаний.



14.4.8. Частота затухающих колебаний

.



14.4.9. Период затухающих колебаний

.



14.4.10. График затухающих колебаний



14.4.11. Переход к апериодическому движению

При увеличении коэффициента затухания β период затухающих колебаний (14.4.9) растет, при β → ω0период T → ∞ . При β > ω0 периодическое решение у дифференциального уравнения затухающих колебаний отсутствует:



14.4.12. Логарифмический декремент затухания

,

подставим A(t) = A0-βt.

.

 

14.4.13. Время релаксации

Время релаксации - это время τ, за которое амплитуда уменьшилась в e=2,7... раз, т.е.  ,  тогда   .

.

Т.к.    - число колебаний за время , то:

.



14.4.14. Добротность

.

В прошлом веке была широко распространена гипотеза эфира, мировой всепроникающей среды, заполняющей все пространство. Эфир, как носитель света, должен обладать многими удивительными свойствами: с одной стороны, он должен быть чрезвычайно «тонким», невесомым, чтобы не препятствовать движению микрочастиц и небесных тел, с другой стороны, он должен быть невероятно «жестким», чтобы передавать поперечные волны света со скоростью в сотни тысяч километров в секунду. Возможная для него частота колебаний должна охватывать весь диапазон, практически от нуля до многих триллионов (1018) в секунду. Но во второй половине XIX века трудами Сен-Венана, Релея и Столетова было выяснено, что подобные требования к веществу совершенно несовместимы.

Было сделано много попыток спасти гипотезу эфира за счет, усложнения его гипотетических свойств, но, как писал С.И. Вавилов, «Под натиском опытных данных концепция эфира стала столь громоздкой и неопределенной, что в пользу ее трудно аргументировать даже тем, что она дает довольно наглядный образ явлений. Как и во времена Ньютона, мы также мало знаем «что такое эфир», а пожалуй даже меньше, чем тогда» [2].

На смену гипотезе эфира пришла электромагнитная теория Максвелла. Она имела то преимущество, что заменяла явно дискредитированный эфир новым понятием - «электромагнитное поле». Это понятие не имело аналогов в зрительно наблюдаемом мире и потому позволяло приписывать себе желаемые свойства «ad hoc», в том числе и способность передавать световые и электромагнитные волны со скоростью в 300 раз большей, чем у наиболее быстрых из известных космических тел (комета Когоутека).

Теория Максвелла при малых скоростях и в статике отлично описывала все известные к тому времени электромагнитные явления, но и старая эфирно-волновая теория имела много привлекательных черт. Нужен был такой решающий эксперимент, который мог бы подтвердить справедливость только одной из конкурирующих теорий.

И Максвелл нашел такую схему. Идея опыта основывалась на том, что квадрат скорости любой упругой волны равен только отношению модуля упругости к удельной плотности вещества среды распространения, но не зависит от движения источника. Если эфир, как материальная среда, существует, то представляется возможность опытного измерения абсолютной скорости Земли в мировом пространстве. Для этого достаточно найти скорость распространения света от земного источника в направлении движения Земли и в противоположном направлении и взять полуразность амплитуд ее значения. Этим будет подтверждена эфирно-волновая теория.

Если же справедливы исходные идеи теории Максвелла, то электромагнитное поле, созданное каким-либо источником, останется с ним жестко связанным и будет перемещаться вместе с ним. Поэтому и колебания в нем должны распространяться со скоростью, постоянной относительно источника в момент излучения, как бы он после этого ни двигался. Такого результата явно и ожидал Максвелл.

К сожалению, опыт, им предложенный, был поставлен Майкельсоном лишь спустя шестнадцать лет после предложения и через два года после смерти инициатора (1879 г.). При жизни Максвелл не имел возможности убедиться сам в результатах опыта и доказать современникам, насколько он был прав!

Экспериментатор же и его современники не восприняли идею Максвелла, оставаясь в плену эфирных представлений Гюйгенса, Физо и др. Вместо того, чтобы принять простое и убедительное объяснение, даваемое электромагнитной теорией, они продолжали настаивать на постоянстве скорости света относительно мирового эфира, хотя обнаружить последний никак не удавалось.

14.3. Сложение колебаний

Эффект Штарка Суть эффекта сводится к расщеплению спектральных линий испускания при воздействии сильного электрического поля на источник излучения. Поле может быть либо внешним по отношению к источнику, либо внутренним, создаваемым соседними атомами или ионами. Эффект назван по имени Й.Штарка, впервые наблюдавшего его в 1913. Он аналогичен эффекту, обнаруженному П.Зееманом в 1896 и состоящему, как было выяснено, в расщеплении спектральных линий магнитным полем. Эффект Штарка обусловлен тем, что под действием электрического поля облако электронов, окружающих ядро излучающего атома, изменяет свое положение относительно ядра. В результате изменяются энергетические уровни электронов в атоме. Поскольку свет испускается при переходе электрона с одного энергетического уровня на другой, изменение энергетических уровней приводит к изменению спектра испускаемого света.