Инженерная графика
Физика
Атомные станции
Строймех
ТКМ
Начертательная геометрия
Экология энергетики
Сопромат
Готика
Черчение
Теплотехника
Математика

Театр

Конспект лекций
Атомная энергетика
Карта

Волновая оптика Квантовая оптика Колебания начало

14.5. Вынужденные колебания

Вынужденные колебания - это колебания, происходящие под действием периодического внешнего воздействия.




14.5.1. Колеблющиеся системы

В контур включен последовательно источник переменного напряжения, изменяющегося по гармоническому закону . Колебания и волны Курс лекций по физикеНа грузик m действует внешняя сила, изменяющаяся по гармоническому закону .



14.5.2. Законы движения

Закон Ома для неоднородного участка цепи:Второй закон Ньютона :
..



14.5.3. Применение законов движения

Применим законы движения к изучаемым системам:

Получим дифференциальные уравнения:

, .

Приведем уравнения к каноническому виду - делим на коэффициент при старшей производной и переносим все члены уравнения, содержащие неизвестную функцию, в левую часть:

; .



14.5.4. Введем обозначения



14.5.5. Дифференциальное уравнение, описывающее вынужденные колебания

наших двух систем будет иметь один и тот же вид:

.

 

14.5.6. Решение дифференциального уравнения

Решение дифференциального уравнения вынужденных колебаний - ξ(t) - состоит из двух слагаемых:

,

здесь ξ1(t) - общее решение однородного уравнения, т.е. уравнения с нулем в правой части (см. 14.4.5.),

ξ2(t) - частное решение неоднородного уравнения, т.е. уравнения с ненулевой правой частью - (14.5.5)

    - из (14.4.6),

здесь -    - частота затухающих колебаний.

ξ1(t) убывает с течением времени и его роль существенна при переходных процессах. Стационарное, установившееся значение ξ(t) определяется, в основном, слагаемым ξ2(t). Наша задача - найти ξ2(t).



14.5.6.1. Частное решение неоднородного уравнения

Частное решение неоднородного уравнения - ξ2(t). Ищем ξ2(t) в виде гармонической функции изменяющейся с частотой внешнего воздействия ω :

.

Первая и вторая производные от этой функции также будут гармоническими функциями, изменяющиеся с частотой ω. Значит, в уравнении 14.5.3.5, в левой его части, будет сумма трех гармонических функций одинаковой частоты, справа - гармоническая функция той же частоты, т.е. сумма трех колебаний одной частоты равна четвертому колебанию той же частоты. Задачу о сложении колебаний мы решим методом векторных диаграмм (14.3.1.), для этого и , после нахождения этих производных, запишем с помощью функции косинуса:

.



14.5.6.1.1. Векторная диаграмма

Изобразим эти колебания с помощью векторов (14.3.1.), амплитуды которых получаются после умножения на , а - ξ на ω20.

.

В отличие от (14.3.2) вправо направим вектор длиной ω20A, изображающий функцию ω20A · Cos( ωt - φ) , начальная фаза которой равна "минус фи".



14.5.6.1.2. Резонанс

Т.к. ,

то

.

Таким образом, амплитуда вынужденных колебаний изменяется с изменением частоты внешнего воздействия. При определенной частоте амплитуда достигает максимума. Это явление называется резонансом, а соответствующая частота - ωрез - резонансной. Для определения ωрез исследуем функцию A(ω) на максимум, для этого достаточно найти минимум знаменателя у выражения A(ω) . Возьмем от него производную по и приравняем к нулю:

,

откуда:

.

При 2 > ω20 резонанс отсутствует ( ωрез - мнимое число).



14.5.6.1.2.1. Амплитуда при резонансе

Амплитуда при резонансе получается при подстановке найденного выражения ωрез в формулу для A(ω).

.

При β << ω0:

.

При ω = 0 отклонение системы от положения равновесия

.

Найдем отношение Aрез / A0при условии β << ω0:

,

здесь Q - добротность.

Добротность показывает (при β << ω0 ) во сколько раз амплитуда при резонансе больше смещения при ω = 0.



14.5.6.1.2.2. Резонансные кривые

График зависимости A(ω) при различных β носят название резонансных кривых.

β1 < β2 < β3,    23 > ω20, в этом случае резонанса нет.


Со временем обнаружилось, что при переходе к высоким скоростям, измеряемым десятками, сотнями и более километров в секунду, свойственным движению микрочастиц, формулы Максвелла дают весьма ощутимые отклонения от эксперимента. Теория явно требовала усовершенствования, доработки.

Однако наука, благодаря усилиям некоторых ученых, сошла с прямого пути и занялась поисками произвольных постулатов, способных подогнать новые факты к устаревшим гипотезам. Гносеологическое направление в науке, согласно которому чистому мышлению доступно познание действительности, берущее свое начало от Платона, получило во II половине XIX столетия дальнейшее развитие в трудах Маха, Пуанкаре, а позднее и Эйнштейна [1].

 

В опытах Майкельсона и его последователей интерферометр двигался вместе с Землей и все его части, включая излучатель света, оставались взаимно неподвижными. Делать из этих опытов выводы, относящиеся к движущимся источникам и приемникам, было недопустимо, если только не признавать заранее и безоговорочно эфирно-волновую теорию света. Поэтому, чтобы согласовать результаты непосредственных наблюдений с общепризнанной гипотезой Фитцджеральд предложил считать опыт Майкельсона доказательством поразительного факта: не скорость света зависит от скорости его излучателя, а размеры всех тел зависят от скорости их движения относительно наблюдателя. Эту гипотезу обосновал своей электронной теорией Лоренц, а Пуанкаре на ней построил новую теорию относительности, резко отличную от теории Ньютона.

Позднее все эти абстрактные рассуждения, принимаемые за реальность, вылились в форму второго постулата Эйнштейна: «Скорость света в любой координатной системе одинакова и не зависит от движения в ней его источника». По существу это было следствием гипотезы Фитцджеральда, но очень скоро следствием стали считать предположение Фитцджеральда, а постулат Эйнштейна приняли за основу новой теории относительности Эйнштейна, оформление которой он завершил в 1905 году [3] и о которой еще в 1914 году профессор О.Д. Хвольсон сказал, что «неслыханная парадоксальность» является ее «особенно характерной чертой!» [4].

Парадоксальность, противоречащая здравому смыслу, стала, по словам А. Тяпкина, чуть ли не синонимом научности, прогрессивности и моды. Парадоксальную форму приобрели определения пространства и времени, массы и скорости, причинности и последовательности. Аналогичными мотивами руководствуются и некоторые ученые, все более усложняя свой математический аппарат.

После распространения релятивизма, в том числе и на другие науки, второй постулат Эйнштейна превратился в штатный «критерий научности» для любого нового предложения или гипотезы: правильным и доказанным считается только такое высказывание, которое не противоречит второму постулату Эйнштейна и выводам из него, хотя сам он никем не доказан ни теоретически, ни экспериментально.

Если бы опыту Майкельсона с самого начала было дано правильное толкование по Максвеллу, то следовало бы, что скорость света в пустоте складывалась со всякой другой скоростью, участвующей в данном явлении, по правилам векторной алгебры! Как выразился академик Л.И. Мандельштам [5], при этом «...все могло бы быть в порядке» и не нужны были бы ни искусственные преобразования Лоренца, ни вся теория относительности Эйнштейна. Но почему-то никаких практических выводов из этого дельного замечания академик не сделал! Он просто констатировал, что второй постулат Эйнштейна не доказан и что «...мы исходим из него, не требуя доказательств», то есть антинаучно, А он является краеугольным камнем теории относительности!

Ошибочное толкование опытов Майкельсона и его последователей заставило многих физиков искать совместное решение знаменитых уравнений Максвелла с постулатом Фитцджеральда (он же - второй постулат Эйнштейна) и именно этот постулат, а не опыт Майкельсона, послужил причиной релятивизации понятий пространства и времени.

Рассмотрим более подробно классическую теорию относительности.

14.5. Вынужденные колебания