Строймех
Сопромат
Математика
Карта
Физика примеры решения задач
§ 6. МЕХАНИЧЕСКИЕ КОЛЕБАНИЯ Основные формулы
• Уравнение гармонических колебаний
где х — смещение колеблющейся точки
от положения равновесия;
t — время; А, ω, φ— соответственно амплитуда, угловая частота,
начальная
фаза колебаний; — фаза колебаний
в момент t.
• Угловая частота колебаний
, или
,
где ν и Т — частота и период колебаний.
• Скорость точки, совершающей гармонические колебания,
• Ускорение при гармоническом колебании
• Амплитуда А результирующего колебания, полученного при сложении двух колебаний с одинаковыми частотами, происходящих по одной прямой, определяется по формуле
где a1 и А2— амплитуды составляющих колебаний; φ1 и φ2— их начальные фазы.
• Начальная фаза φ результирующего колебания может быть найдена из формулы
• Частота биений, возникающих при сложении двух колебаний, происходящих по одной прямой с различными, но близкими по значению частотами ν1 и ν2,
• Уравнение траектории точки, участвующей в двух взаимно перпендикулярных колебаниях с амплитудами A1 и A2 и начальными фазами φ1 и φ2,
Если начальные фазы φ1 и φ2 составляющих колебаний одинаковы, то уравнение траектории принимает вид
т. е. точка движется по прямой.
В том случае,
если разность фаз , уравнение
принимает вид
т. е. точка движется по эллипсу.
• Дифференциальное уравнение гармонических колебаний материальной точки
, или
,
где
m — масса
точки; k — коэффициент квазиупругой силы (k=тω2).
• Полная энергия материальной точки, совершающей гармонические колебания,
• Период колебаний тела, подвешенного на пружине (пружинный маятник),
где m — масса тела; k — жесткость пружины. Формула справедлива для упругих колебаний в пределах, в которых выполняется закон Гука (при малой массе пружины в сравнении с массой тела).
Период колебаний математического маятника
где l — длина маятника; g — ускорение свободного падения. Период колебаний физического маятника
где J — момент инерции колеблющегося тела относительно оси
колебаний; а — расстояние центра масс маятника от оси колебаний;
— приведенная длина физического
маятника.
Приведенные
формулы являются точными для случая бесконечно малых амплитуд. При конечных амплитудах
эти формулы дают лишь приближенные результаты. При амплитудах не более
ошибка в значении периода не превышает 1 %.
Период крутильных колебаний тела, подвешенного на упругой нити,
где J — момент инерции тела относительно оси, совпадающей с упругой нитью; k — жесткость упругой нити, равная отношению упругого момента, возникающего при закручивании нити, к углу, на который нить закручивается.
• Дифференциальное
уравнение затухающих колебаний
, или
,
где r — коэффициент сопротивления; δ — коэффициент затухания:
; ω0— собственная угловая частота колебаний *
• Уравнение затухающих колебаний
где A (t) — амплитуда затухающих колебаний в момент t; ω — их угловая частота.
• Угловая частота затухающих колебаний
О Зависимость амплитуды затухающих колебаний от времени
I
где А0 — амплитуда колебаний в момент t=0.
• Логарифмический декремент колебаний
где A (t) и A (t+T) — амплитуды двух последовательных колебаний, отстоящих по времени друг от друга на период.
• Дифференциальное уравнение вынужденных колебаний
, или
,
где — внешняя периодическая
сила, действующая на
колеблющуюся
материальную точку и вызывающая вынужденные
колебания;
F0 — ее амплитудное значение;
• Амплитуда вынужденных колебаний
• Резонансная частота и резонансная амплитуда и
Если =0,
то
=const – закон сохранения момента
импульса (кинетического момента) системы материальных точек.
Рассмотрим теперь материальное тело:
,
, где
– объёмная плотность внешних сил.
Кинетический момент материального тела:
Устремим количество элементов и бесконечности:
;
– теорема об изменении момента импульса (кинетического момента) материального
тела.
Если , то
– закон сохранения момента импульса (кинетического момента) материального тела.
Если имеется система, состоящая из N материальных тел:
,
.
– теорема об изменении момента импульса (кинетического момента) системы материальных
тел.
Если , то
– закон сохранения момента импульса (кинетического момента) системы материальных
тел.
Теорема об изменении кинетической энергии системы.
СОПРОТИВЛЕНИЕ МАТЕРИАЛОВ Сопротивление материалов является одним из разделов механики деформируемого твердого тела и посвящено изучению инженерных методов расчета на прочность, жесткость и устойчивость деталей машин и элементов сооружений. Под прочностью понимают способность детали выдерживать действие внешней нагрузки без разрушения. Жесткость – это способность детали сопротивляться изменению первоначальных размеров. Для некоторых видов деталей жесткость связана с устойчивостью, то есть способностью детали сохранять определенную первоначальную форму равновесия.
|