Физика примеры решения задач
Задачи 

 

§ 6. МЕХАНИЧЕСКИЕ КОЛЕБАНИЯ Основные формулы

• Уравнение гармонических колебаний

 

где х — смещение колеблющейся точки от положения равновесия;
t — время; А, ω, φ— соответственно амплитуда, угловая частота,
начальная фаза колебаний;  — фаза колебаний в момент
t.

• Угловая частота колебаний

 , или ,

где ν и Т — частота и период колебаний.

• Скорость точки, совершающей  гармонические колебания,

• Ускорение при гармоническом колебании

• Амплитуда А результирующего колебания, полученного при сложении двух колебаний с одинаковыми частотами, происходящих по одной прямой, определяется по формуле

 

где a1 и А2амплитуды составляющих колебаний; φ1 и φ2их начальные фазы.

• Начальная фаза φ результирующего колебания может быть найдена из формулы

• Частота биений, возникающих при сложении двух колебаний, происходящих по одной прямой с различными, но близкими по зна­чению частотами ν1 и ν2,

• Уравнение траектории точки, участвующей в двух взаимно перпендикулярных колебаниях с амплитудами A1 и A2 и начальны­ми фазами φ1 и φ2,

Если начальные фазы φ1 и φ2 составляющих колебаний одинако­вы, то уравнение траектории принимает вид

 

т. е. точка движется по прямой.

В том случае, если разность фаз , уравнение
принимает вид

 

т. е. точка движется по эллипсу.

• Дифференциальное уравнение гармонических колебаний ма­териальной точки

 , или  ,
где
m — масса точки; k коэффициент квазиупругой силы (k=тω2).

Полная энергия материальной точки, совершающей гармони­ческие колебания,

• Период колебаний тела, подвешенного на пружине (пружин­ный маятник),

 

где m — масса тела; k жесткость пружины.  Формула справедлива для упругих колебаний в пределах, в ко­торых выполняется закон Гука (при малой массе пружины в срав­нении с массой тела).

Период колебаний математического маятника

 

где l — длина маятника; g ускорение свободного падения. Период колебаний физического маятника

 

где J — момент инерции колеблющегося тела относительно оси

колебаний; а — расстояние центра масс маятника от оси колебаний;

 — приведенная длина физического маятника.

Приведенные формулы являются точными для случая бесконеч­но малых амплитуд. При конечных амплитудах эти формулы дают лишь приближенные результаты. При амплитудах не более ошибка в значении периода не превышает 1 %.

Период крутильных колебаний тела, подвешенного на упругой нити,

 

где J момент инерции тела относительно оси, совпадающей с упругой нитью; k жесткость упругой нити, равная отношению упругого момента, возникающего при закручивании нити, к углу, на который нить закручивается.

• Дифференциальное уравнение затухающих колебаний
 , или  ,

где r — коэффициент сопротивления; δкоэффициент затухания:  ; ω0— собственная угловая частота колебаний *

• Уравнение затухающих колебаний

где A (t) — амплитуда затухающих колебаний в момент t; ω — их угловая частота.

• Угловая частота затухающих колебаний

О Зависимость амплитуды затухающих колебаний от времени

 I

где А0амплитуда колебаний в момент t=0.

• Логарифмический декремент колебаний

 

где A (t) и A (t+T) — амплитуды двух последовательных колеба­ний, отстоящих по времени друг от друга на период.

• Дифференциальное уравнение вынужденных колебаний

 , или

 ,

где  — внешняя периодическая  сила, действующая на
колеблющуюся материальную точку и вызывающая вынужденные
колебания; F0ее амплитудное значение;

Амплитуда вынужденных колебаний

• Резонансная частота и резонансная амплитуда  и

 

Если =0, то =const – закон сохранения момента импульса (кинетического момента) системы материальных точек.

Рассмотрим теперь материальное тело:

, , где  – объёмная плотность внешних сил.

Кинетический момент материального тела:

Устремим количество элементов и бесконечности:

;

  – теорема об изменении момента импульса (кинетического момента) материального тела.

Если , то   – закон сохранения момента импульса (кинетического момента) материального тела.

Если имеется система, состоящая из N материальных тел:

, .

  – теорема об изменении момента импульса (кинетического момента) системы материальных тел.

Если , то   – закон сохранения момента импульса (кинетического момента) системы материальных тел.

Теорема об изменении кинетической энергии системы.

 

СОПРОТИВЛЕНИЕ МАТЕРИАЛОВ Сопротивление материалов является одним из разделов механики деформируемого твердого тела и посвящено изучению инженерных методов расчета на прочность, жесткость и устойчивость деталей машин и элементов сооружений. Под прочностью понимают способность детали выдерживать действие внешней нагрузки без разрушения. Жесткость – это способность детали сопротивляться изменению первоначальных размеров. Для некоторых видов деталей жесткость связана с устойчивостью, то есть способностью детали сохранять определенную первоначальную форму равновесия.