Термодинамика Основные формулы Термодинамика

ЭЛЕМЕНТЫ СТАТИСТИЧЕСКОЙ ФИЗИКИ

· Распределение Больцмана (распределение частиц в силовом поле)

n=n0e-U/(kT),

где п — концентрация частиц; U их потенциальная энергия; n0 концентрация частиц в точках поля, где U=0; k постоян­ная Больцмана; T термодинамическая температура; е — основа­ние натуральных логарифмов.

· Барометрическая формула (распределение давления в одно­родном поле силы тяжести)

р=p0e-mgz/(kT), или p=p0e-Mgz/(RT),

где р — давление газа; m масса частицы; М — молярная масса; z — координата (высота) точки по отношению к уровню, принятому за нулевой; р0 давление на этом уровне; g ускорение свобод­ного падения; R молярная газовая постоянная.

· Вероятность того, что физическая величина х, характери­зующая молекулу, лежит в интервале значений от х до x+dx, определяется по формуле

dW(x)=f(x)dx*

где f(x)—функция распределения молекул по значениям данной физической величины х (плотность вероятности).

 

* Приведенная формула выражает также долю молекул, для которых физическая величина х заключена в интервале от х до х+dх.

· Количество молекул, для которых физическая величина х, характеризующая их, заключена в интервале значений от х до x+dx,

dN=NdW(x)=Nf(x)dx.

· Распределение Максвелла (распределение молекул по ско­ростям) выражается двумя соотношениями:

а) число молекул, скорости которых заключены в пределах от J до J+dJ,

,

где f(J)функция распределения молекул по модулям скоростей, выражающая отношение вероятности того, что скорость молекулы лежит в интервале от J до J+dJ, к величине этого интервала, а также долю числа молекул, скорости которых лежат в указанном интервале; N — общее число молекул; m масса молекулы;

б) число молекул, относительные скорости которых заключены в пределах от u до u+du,

где u=J/Jв относительная скорость, равная отношению скорости J к наивероятнейшей скорости Jв (о скоростях молекулы см. §9); f(u) функция распределения по относительным скоростям.

· Распределение молекул по импульсам. Число молекул, им­пульсы которых заключены в пределах от р до p+dp,

,

где f(p) функция распределения по импульсам.

· Распределение молекул по энергиям. Число молекул, энер­гии которых заключены в интервале от e до e+de,

,

где f(e)—функция распределения по энергиям.

· Среднее значение * физической величины х в общем случае

,

а в том случае, если функция распределения нормирована на еди­ницу,

<x>=òxf(x)dx

где f(x) — функция распределения, интегрирование ведется по всей совокупности изменений величины х.

Например, среднее значение скорости молекулы (т. е. средняя арифметическая скорость) ; средняя квадратичная скорость <Jкв>=<J2>1/2, где ; средняя кинетическая энергия поступательного движения молекулы .

* Интегралы для вычисления средних значений приведены в табл. 2.

· Среднее число соударений, испытываемых одной молекулой газа в единицу времени,

,

где d эффективный диаметр молекулы; п — концентрация моле­кул; <J> — средняя арифметическая скорость молекул.

· Средняя длина свободного пробега молекул газа

.

· Импульс (количество движения), переносимый молекулами из одного слоя газа в другой через элемент поверхности,

,

где h динамическая вязкость газа; —градиент (поперечный) скорости течения его слоев; DS — площадь элемента поверхности; dt время переноса.

· Динамическая вязкость

h=r<J><l>

где r плотность газа (жидкости); <J> средняя скорость хаоти­ческого движения его молекул; <l> — их средняя длина свободного пробега.

· Закон Ньютона

где F сила внутреннего трения между движущимися слоями газа.

· Закон Фурье

DQ= -lSDt,

где DQ теплота, прошедшая посредством теплопроводности через сечение площадью S за время Dt; l теплопроводность; - градиент температуры.

· Теплопроводность .(коэффициент теплопроводности) газа

l=cvr<J><l> или l=<J><l>,

где cv удельная теплоемкость газа при постоянном объеме; rплотность газа; <J> — средняя арифметическая скорость его молеку­лы; <l> — средняя длина свободного пробега молекул.

· Закон Фика

Dm= -Dm1SDt,

где Dm масса газа, перенесенная в результате диффузии через поверхность площадью S за время Dt; D диффузия (коэффициент Эффузии); градиент концентрации молекул; m1масса одной молекулы.

· Диффузия (коэффициент диффузии)

D=<J><l>

Автомобиль массой 2 т затормозил и остановился, пройдя путь 50 м. Найти работу силы трения, если дорога горизонтальна и коэффициент трения равен 0,4.

Автомобиль массой 2 т движется в гору. Уклон горы равен 4 м на каждые 100 м пути. Коэффициент трения равен 0,08. Найти работу, совершенную двигателем автомобиля на пути 3 км.

Найти, какую мощность развивает двигатель автомобиля массой 1 т, если известно, что автомобиль едет с постоянной скоростью 36 км/ч по горизонтальной дороге.

Автомобиль массой 10 т движется под уклон по дороге, составляющей с горизонтом угол, равный 40. Найти работу силы тяжести на пути 100 м.

Гиря, положенная на верхний конец спиральной пружины, сжимает ее на 2 мм. На сколько сожмет пружину та же гиря, упавшая на конец пружины с высоты 5 см?

Молот массой 70 кг падает с высоты 5 м и ударяет по железному изделию, лежащему на наковальне. Масса наковальни вместе с изделием 1330 кг. Считая удар абсолютно неупругим, определить энергию, расходуемую на деформацию изделия.

Определить работу, совершаемую человеком при поднятии груза массой 2 кг на высоту 1 м с ускорением 3 м/с2.

Определить КПД наклонной плоскости длиной 1 м и высотой 0,6 м, если коэффициент трения при движении по ней тела равен 0,1.

Определить полезную мощность при разбеге самолета массой 1 т. длина разбега 300 м, взлетная скорость 30 м/с, коэффициент сопротивления 0,03.

Определить момент силы, который необходимо приложить к однородному диску, вращающемуся с частотой 12 с-1, чтобы он остановился через 8 с. Диаметр диска 30 см, масса диска 6 кг.

На однородный сплошной цилиндрический вал радиусом 50 см намотана легкая нить, к концу которой прикреплен груз массой 6,4 кг. Груз, опускается с ускорением 2 м/с2. Определить момент инерции вала и массу вала.

К ободу колеса радиусом 0,5 м и массой 50 кг приложена касательная сила 98.1 Н. Найти угловое ускорение колеса. Через какое время после начала действия силы колесо будет иметь частоту вращения 100 об/с? Колесо считать однородным диском. Трением пренебречь.

Маховик, момент инерции которого 63,6 кг∙м2, вращается с угловой скоростью 31.4 рад/с. Найти момент сил торможения, под действием которого маховик остановится через 20 с. Маховик считать однородным диском.

По горизонтальной плоской поверхности катится диск со скоростью 8 м/с. Определить коэффициент сопротивления, если диск, будучи предоставленным самому себе, остановился, пройдя путь в 18 м.

Определить тормозящий момент, которым можно остановить за 20 с маховое колесо массой 50 кг и радиусом 0,30 м, вращающееся с частотой 20 об/с. Массу маховика считать распределённой по ободу. Чему равна работа, совершаемая тормозящим моментом?

 

Через какое время от начала движения точка, совершающая гармонические колебания, будет иметь смещение от положения равновесия, равное половине амплитуды? Период колебаний 24 с, начальная фаза отсутствует. Спустя какую часть периода после прохождения колеблющейся точки через положение равновесия ее скорость равна 1/2 от максимальной? На каком расстоянии от положения равновесия будет находиться точка в этот момент? Амплитуда колебаний 6 см. Материальная точка массой 5 г совершает гармонические колебания с частотой 0,5 с-1. Амплитуда колебаний 0,03 м. Определить скорость точки в момент, когда смещение ее равно 1,5 см.