Атомная физика | Физические законы механики | Термодинамика | Электричество | Магнетизм | Оптика | Молекулярная физика | Физмат.ру
Математика 1 семестр | Математика 2 семестр | Математика 3 семестр | Математика 4 семестр | Интегралы | 1 курс

Электромагнетизм примеры решения задач Магнетизм

Пример. 3 По соленоиду течет ток I=2 А. Магнитный поток Ф, пронизывающий поперечное сечение соленоида, равен 4 мкВб. Оп­ределить индуктивность L соленоида, если он имеет N=800 витков.

Решение. Индуктивность L соленоида связана с потокосцеплением Y соотношением Y=LI, откуда L=Y/I. Заменив здесь потокосцепление Y его выражением через магнитный поток Ф и число витков N соленоида (YN), получим

 (1)

Произведя вычисления по формуле (1), получим

L == 1,6 мГн.

Уравнение Шредингера для стационарных состояний.

Общая характеристика стац. Состояний

Состояние называется стационарным если | Ψ (x,y,z,t) |2 = const

M(x,y,z)

U (x,y,z,t) = U (x,y,z)

E = p2/2m + U(x,y,z)

Система консервативна, тк сумма постоянна

По Гейзенбергу

∆E∆t >= ħ

∆E стремится к 0

∆t стремится к бесконечности

| Ψ |2 = const

| Ψ (x,y,z,t) |2 = const

Ψ (x,y,z,t) = e if(x,y,z,t) ψ (x,y,z)

Ψ(x,t) = A e–i/ ħ (Et –px) удовлетворяет условию стацион.

Ψ (x,y,z,t) = e if(x,y,z,t) A e–i/ ħ (kEt –PxX – PyY - PzZ)

ψ = A e–i/ ħ (kEt –PxX – PyY - PzZ)

U (x,y,z,t) = U (x,y,z)

- ħ2/∂x2 + U (x,y,z) Ψ = i ħ (∂ Ψ/∂t)

Ψ(x,t) = e–i/ ħ (Et ) ψ – функция стац состояния

∂ Ψ/∂x = e–(i/ ħ) E ∂ ψ /∂x

 ∂ 2Ψ/∂x2 = e–(i/ ħ) ∂2 ψ /∂x2

∂ Ψ/∂t = –(i/ ħ) E e–(i/ ħ) Et ∂ ψ

(- ħ2/2m) e–(i/ ħ) Et (∂2 ψ /∂x2) + U (x,y,z) e–(i/ ħ) Et ψ = i ħ–(i/ ħ) E e–(i/ ħ) Et ψ

(- ħ2/2m) (∂2 ψ /∂x2) + U (x,y,z) ψ = E ψ

Eпот не зависит от t

E = p2/2m – U(x,y,z)

ψ (x,y,z)

(- ħ2/2m) ∆ Ψ + U (x,y,z,t) Ψ = i ħ (∂ Ψ/∂t)

Свободная мкч: (- ħ2/2m) ∆ Ψ = 0

(- ħ2/2m) ∂ 2Ψ/∂x2 =E Ψ

E – Eкин

Решение: Ψ(x,t) = Ae–i/ ħ (Et -px)

Уравнение Шредингера в стац состоянии для свободной мкч.

(- ħ2/2m) (∂2 Ψ /∂x2 + ∂2 Ψ /∂y2 + ∂2 Ψ /∂y2) = E Ψ

(- ħ2/2m) (∂2 Ψ /∂x2) = E Ψ – одномерный случай

Уравнение Шредингера описывает возможные состояния волн де Бройля

§4 Уравнение Шредингера для n частиц

Ур. Стационарного состояния для 1й частицы: (- ħ2/2m) ∆ Ψ + U (x,y,z) Ψ = i ħ (∂ Ψ/∂t)

Система находится под действием силы F

(- ħ2/2) ∑ (1 /mi) ∆i Ψ + [∑ U (ri) + Uвзаимодействия (r1 …. rN)] Ψ = EΨ

U (ri) – Eпот iй мкч в силовом поле

Uвзаимодействия - Eпот взаимодействия всех частиц

E – полная энергия всех частиц

Решение: Ψ (r1 …. rN)

Решив уравнение можно найти | Ψ (r1 …. rN)|2 = dW/dV

§5 Анализ решений уравнений Шредингера

1.Сравнение с обычным волновым уравнением:

∂2 S /∂x2 = 1 ∂2S/ U2 ∂t2

Его решение: S = A Cos (ωt - kx)

По теореме Эйлера: S = e -i(ωt - kx) = A [ Cos (ωt - kx) - iSin(ωt - kx)]

iSin(ωt - kx) – не отражает реального физического пр. (??)

В решении уравнения Шредингера мы не отбарсываем мнимую чать:

(- ħ2/2m) (∂2Ψ/∂x2 ) = i ħ (∂ Ψ/∂t)

Ψ = ACos (ωt - kx) – не решение

Решение: Ψ =Ae-i(ωt - kx) = A [Cos(ωt - kx) - iSin(ωt - kx)] – плоска волна де Бройля

2.Начальные и граничные условия

Решить уравнения модно только зная начальные и граничные условия

(- ħ2/2m) ∆ Ψ + U (x,y,z,t) Ψ = i ħ (∂ Ψ/∂t)

Ψ (x,y,z,t) – решение

Ψ (x,y,z,0) – начальное условие при t=0

Ψ (x,y,z,t) →Ψ (x,y,z,0) здесь появляется принцип причинности О_о

В граничные условия входит Епот в явном виде

U (x,y,z,t)

Ψ (0,t)  Ψ (e,t)

3. стандартные естественные условия

на пси функцию накладываются условия:

1.Пси функция непрерывна

2.однозначна

3.конечна – требование из условия нормировки (тройной интеграл от минус до плюс бесконечности) (|Ψ (x,y,z,t)|2dxdydz) = 1

4. собственные значения и собственные функции

(- ħ2/2m) ∆ ψ + U (x,y,z) ψ = E ψ

ψ1 ψ2  ψ3 - собственные функции

E1 E2 E3 - собственные значения E

Не все пси функции удовлетворяют этому условию

Имеем дискретный ряд, удовлетворяющий этому уравнению

Мкч может иметь только дискретный ряд значений энергии.

Уравнение шредингера содержит ключ квантования

Имеет смысл только в ограниченном пространстве

Для нерелятивистской: V<<C Ek = p2/2m – уравнение Ш. не учитывающее спин

Для релятивистской: V~C Ek = mC2 – m0C2 – уравнение Дирака учитывающее спин

  Потенциальный характер электростатического поля. Работа по переносу заряда в электростатическом поле. Потенциальная энергия заряда в электростатическом поле. Циркуляция вектора напряженности электростатического поля. Потенциал электрического поля. Разность потенциалов. Потенциал поля точечного заряда, шара. Потенциал поля, созданного системой зарядов. Эквипотенциальные поверхности. Принцип суперпозиции для потенциала. Связь между напряженностью и потенциалом. Градиент потенциала.