Атомная физика | Физические законы механики | Термодинамика | Электричество | Магнетизм | Оптика | Молекулярная физика | Физмат.ру
Математика 1 семестр | Математика 2 семестр | Математика 3 семестр | Математика 4 семестр | Интегралы | 1 курс

Электромагнетизм примеры решения задач Магнетизм

Пример 4. При скорости изменения силы тока DI/Dt в соле­ноиде, равной 50 А/с, на его концах возникает ЭДС самоиндук­ции =0,08 В. Определить индуктивность L соленоида.

Решение. Индуктивность соленоида связана с ЭДС само­индукции и скоростью изменения силы тока в его обмотке соотноше­нием *

 

*Сравните с предыдущим примером

Вынося постоянную величину L за знак приращения, получим

Опустив знак минус в этом равенстве (направление ЭДС в данном случае несущественно) и выразив интересующую нас величину — индуктивность, получим

 

Сделав вычисления по этой формуле, найдем

L=1,6 мГн.

Глава 6. Применение квантовой механики.

§1 Движение мкч в свободном пространстве.

1.уравнение Шредингера и его решение

U(x) = 0

Состояние стационарное

(- ħ2/2m) (∂2 ψ /∂x2 ) = E ψ

E = p2/2m

(d2 ψ /dx2 ) + (2m/ħ2) E ψ = 0

(2m/ħ2) E = k2

(d2 ψ /dx2 ) + k2 ψ = 0

Ищем решение в виде ψ = e rx

(∂ ψ /∂x) = r ψ

(∂2 ψ /∂x2 ) = r2 ψ

r2 ψ + k2 ψ = 0

ψ != 0

r2 + k2 = 0 => r = +- ik

ψ = A e ikx + B e –ikx

2.собственные функции оператора энергии

k = sqr ((2m/ħ2) E) = sqr((2m/ħ2) (p2/2m)) = p/ ħ

ψ = A e –i (p/ ħ )x + B e –i (p/ ħ ) x

умножаем на временной множитель

f(t) = e –i/ ħ (Et)

 Ψ (x,t) =  ψ(x) e –i/ ħ (Et)

Ψ (x,t) = A e –i/ ħ (Et - px) + B e –i/ ħ (Et + px)

В этом случае полагают например B=0 (мкч движется в + направлении)

Ψ (x,t) = A e –i/ ħ (Et - px)

3. собственные значения энергии

(2m/ħ2) E = k2

E= k2 ħ2/2m

- Квадратичная функция.

§2 Движение мкч в потенциальном ящике.

Потенциальный ящик – одна из разновидностей потенциальных ям.

Потенциальная яма – область прорыва в которой Епот меньше чем в окружающих точках пространства.

Ямы могут имеет самую причудливую форму.

Для удобства вид ямы сводят к прямоугольному виду

Потенциальный ящик – одномерная потенциальная яма с бесконечно высокими стенками

U(x) = {0 0<x<L

Бесконечность 0>=x, x>=L}

Мкч не может выйти за пределы ящика, граничные условия:

{ ψ (0) = 0

ψ (L)=0}

уравнение шредингера и его решения для частицы в потенциальном ящике

(- ħ2/2m) (d2 ψ /dx2 ) = E ψ

(d2 ψ /dx2 ) + (2m/ħ2) E ψ = 0

(2m/ħ2) E = k2

(d2 ψ /dx2 ) + k2 ψ = 0

Решение: ψ = A’ e ikx + B’ e –ikx

По т.Эйлера: ψ = A’ (Coskx + iSinkx) + B’ (Coskx - iSinkx)

ψ = (A’ + B’)(Cos kx) + (A’ – B’) (iSinkx)

A’ = 1/2 B’= 1/2 тогда ψ1 = Cos kx

A’ = -i/2 B’= -i/2 тогда ψ2 = Sin kx

ψ = ASinkx + BCoskx – амплитудная функция

Ψ (x,t) = e –i/ ħ (Et ) (ASinkx + BCoskx) - амплитудное рещение

Ψ (x,t) = Ae –i/ ħ (Et ) Sinkx + B e –i/ ħ (Et ) Coskx – общее решение

Собственные значения энергии

ψ = ASinkx + BCoskx

применим граничные условия

ψ (0) = 0 B=0 A!=0

ψ (l)=0 ASinkL=0

Sinkl = 0 kL=nPi k=nPi/L

(2m/ħ2) E = (nPi/L)2

E= n2 Pi2ħ2/2mL2

Мкч имеет дискретный спектр энергий в потенциальном ящике

E1= Pi2ħ2/2mL2

E2=4 Pi2ħ2/2mL2 итд

ψ = ASin(nPi/L)x

∆E = En+1 – En = (n+1)2 (Pi2ħ2/2mL2) – n2 (Pi2ħ2/2mL2) = (2n+1) (Pi2ħ2/2mL2) ~ n

Дискретность проявляется при малых массах и малых размерах потенциального ящика.

Относительная дискретность ∆E/E = 2n+1/n2 ~ 1/n

При n стремящемуся к бесконечности дискретность исчезает (стремится к 0) и квантовая механика переходит в классическую.

Собственные функции

ψ (x) = ASin(nPi/L)x

Условие нормировки:

(интеграл от 0 до L) (A2Sin2(nPix/L) dx) =1

A2 1/2 (интеграл от 0 до L) (1 -Cos(2nPix/L) dx) =1

A2 1/2 [(интеграл от 0 до L)(dx) - (интеграл от 0 до L) (Cos(2nPix/L) dx)] =1

A2 1/2 [x| - ((1/2n(Pi/L)) (Sin(2nPix/L) )) |] =1

A2 L/2 = 1

A = sqr (2/L)

ψ (x) = sqr (2/L) Sin(nPi/L)x

Ψ (x) = sqr (2/L) e –i/ ħ (Et ) Sin(nPi x /L)

n=1 ψ 1 = sqr (2/L) Sin(Pi x/L) E= Pi2ħ2/2mL2

n=2 ψ 2 = sqr (2/L) Sin(2Pi x/L) E= 4Pi2ħ2/2mL2

n=3 ψ 2 = sqr (2/L) Sin(3Pi x/L) E= 9Pi2ħ2/2mL2

n – число максимумов

для классической частицы будет просто прямая.

n стремится к бесконечности – кривая вырождается в прямую

принцип соответствия Бора: квантовая механика переходит в классическую.

Общие выводы:

- спектр энергии мкч в потенциальном ящике дискретен

- минимальная Екин (Е1) мкч в потенциальном ящике != 0, следовательно мкч не может находится в состоянии покоя

- дискретность энергии мкч проявляется только при достаточно малых размерах потенциального ящика и малой массе мкч

- дискретность исчезает при n, стремящемся к бесконечности.

  Потенциальный характер электростатического поля. Работа по переносу заряда в электростатическом поле. Потенциальная энергия заряда в электростатическом поле. Циркуляция вектора напряженности электростатического поля. Потенциал электрического поля. Разность потенциалов. Потенциал поля точечного заряда, шара. Потенциал поля, созданного системой зарядов. Эквипотенциальные поверхности. Принцип суперпозиции для потенциала. Связь между напряженностью и потенциалом. Градиент потенциала.