Строймех
Сопромат
Математика

Театр

Карта

Основы квантовой механики, примеры решения задач физика


Волновое уравнение Шрёдингера

Для монохроматической волны имеем

,

и учет закона дисперсии приводит к дифференциальному уравнению для волновой функции
.

Это и есть уравнение Шрёдингера (E. Schrödinger) для свободной частицы, полученное им в 1926 г. Ввиду линейности этого уравнения (параболического типа) оно выполняется для произвольной суперпозиции монохроматических волн:

,

представляющей собой общее решение.

 Возникает вопрос о связи уравнения Шрёдингера (УШ) и уравнений классической механики. Заметим, что фаза монохроматической волны связана с решением  уравнения Гамильтона – Якоби (УГЯ) для свободной частицы

очевидным соотношением
,

а сама волновая функция выражается через  в виде
.
Подставив это выражение в УШ, получим для  уравнение
,

которое отличается от УГЯ дополнительным слагаемым, пропорциональным постоянной Планка , и эквивалентно УШ. В частном случае, когда  - линейная функция , это слагаемое обращается в нуль. В общем же случае УШ для  переходит в УГЯ для  только в (формальном) пределе .
Используем установленную связь УШ и УГЯ, чтобы найти УШ для частицы, движущейся в потенциальном силовом поле . Запишем соответствующее классическое УГЯ:

.

Период дифракционной решетки 4 мкм. Дифракционная картина наблюдается с помощью линзы с фокусным расстоянием F = 40 см. Определите длину световой волны падающего нормально на решетку света (в нм), если первый максимум получается на расстоянии 5 см от центрального.

Дано:

d = 4×10–6 м

l = 5×10–2 м

F = 40×10–2 м

k = 1

Решение:

Запишем условие максимума для дифракционной решетки: dsinφ = kλ. Угол φ можно определить из геометрии: . Для малых углов (φ < 10°) tgφ » sinφ, тогда  .

λ – ?

Ответ: λ = 500 нм

Высота Солнца над горизонтом 46°. Чтобы отраженные от плоского зеркала лучи пошли вертикально вверх, угол падения солнечных лучей на зеркало должен быть равен:

1) 68° 2) 44° 3) 23° 4) 46° 5) 22°

Дано:

φ = 46°

Решение:

Угол падения равен углу отражения α = α¢. Из рисунка видно, что α + α¢ + φ = 90° или 2α + φ = 90°, тогда .

α – ?

Ответ: [5]

 

Излучение возбужденных атомов разреженных газов или паров Возбужденные атомы разреженных газов или паров испускают свет, разложение которого дает линейчатый спектр, состоящий из отдельных цветных линий. Каждый химический элемент имеет характерный для него линейчатый спектр - основу спектрального анализа (определение качественного и количественного состава вещества по спектру его паров).