Основы квантовой механики, примеры решения задач физика


Интегралы движения и симметрия в квантовой механике

Вернемся к интегралам движения в квантовой механике и покажем, что их существование связано с симметрией системы. Ограничимся случаем . Пусть спектр гамильтониана инвариантен относительно некоторых преобразований векторов состояний:

,

где - линейный оператор. Инвариантность означает, что из уравнения

следует такое же уравнение для преобразованного вектора:

.
Отсюда получаем условие инвариантности гамильтониана:

, или .

Естественно потребовать также сохранения нормы вектора:

.

Следовательно, оператор преобразования должен быть унитарным:

, или .

Для приложений представляют интерес унитарные операторы вида

,

где - эрмитов оператор (), т.е. некоторая наблюдаемая; - вещественный параметр. Условие инвариантности гамильтониана принимает вид

.

Поэтому наблюдаемая - интеграл движения (при ).

Первичная обмотка трансформатора с коэффициентом трансформации 5 включена в сеть напряжением 220 В. Сопротивление вторичной обмотки трансформатора 2 Ом, ток во вторичной обмотке 3 А. Определите напряжение на зажимах вторичной обмотки. Потерями в первичной обмотке пренебречь.

Дано:

k = 5

U1 = 220 В

R2 = 2 Ом

J2 = 3 А

Решение:

Коэффициент трансформации ; ε = U + J × r. В первичной обмотке J1 мал, ε1 » U1; ε2 = U2 + J2r2, r2 – сопротивление вторичной обмотке.

U2 – ?

Тогда  Отсюда можем посчитать

Ответ: U2 = 38 В.

В процессе колебаний в идеальном колебательном контуре в момент времени t заряд конденсатора q = 4 нКл, а сила тока в катушке J = 3 мА. Период колебаний Т = 6,3 мкс. Найдите амплитуду колебаний заряда.

Дано:

q = 4 нКл = 4×10-9 Кл J = 3 мА = 3×10-3 А

Т = 6.3 мкс = 6,3×10-6 с

Решение:

Из закона сохранения энергии ; . Формула Томпсона: ;

qm – ?

 , тогда  (Кл).

Ответ: qm = 5×10–9 Кл.

Емкость колебательного контура радиоприемника 0,2 пФ, а в катушке индуктивности возникает э.д.с. самоиндукции 0,1 В при скорости изменения в ней тока, равной 2 А/с. Определите на какую длину волны настроен радиоприемник?

Дано:

С = 0.2 пФ = 2×10-13 Ф

ε = 0.1 В

DJ/Dt = 2 А/с

Решение:

λ = сТ, где Т – период колебаний, который можно определить из формулы Томпсона: .

λ = ?

Э.д.с. самоиндукции , отсюда . Тогда  и

λ = 188 (м).

Ответ: λ = 188 м.

Излучение возбужденных атомов разреженных газов или паров Возбужденные атомы разреженных газов или паров испускают свет, разложение которого дает линейчатый спектр, состоящий из отдельных цветных линий. Каждый химический элемент имеет характерный для него линейчатый спектр - основу спектрального анализа (определение качественного и количественного состава вещества по спектру его паров).

курсы по информационной безопасности