Электростатика физика

Теорема Остроградского-Гаусса

Поток вектора a через произвольную замкнутую поверхность S равен интегралу дивергенции этого вектора по объему V, ограниченному этой поверхностью:

(2.15)

Разобъем весь объем, заключенный внутри поверхности S на элементарные кубики типа изображенных на рис. 2.7. Грани всех кубиков можно разделить на внешние, совпадающие с поверхностью S и внутренние, граничащие только со смежными кубиками. Сделаем кубики настолько маленькими, чтобы внешние грани точно воспроизводили форму поверхности. Поток вектора a через поверхность каждого элементарного кубика равен

,

а суммарный поток через все кубики, заполняющие объем V, есть

(2.16)

Рассмотрим входящую в последнее выражение сумму потоков dФ через каждый из элементарных кубиков. Очевидно, что в эту сумму поток вектора a через каждую из внутренних граней войдет дважды.

Рис. 2.8

Рассмотрим два смежных кубика , поверхности которых обозначены как S1 и S2 (рис. 2.8), причем смежная грань входит как в S1 так и в S2. Очевидно, что при подсчете потока через S1 угол между внешней нормалью к этой грани и вектором а острый и вклад от этой грани в поток будет положительным. А при подсчете потока через S2 вклад от этой грани будет, очевидно, отрицательным.

Тогда полный поток через поверхность S=S1+S2 будет равен сумме потоков через только внешние грани, поскольку сумма потоков через внутреннюю грань даст ноль. По аналогии можно заключить, что все относящиеся к внутренним граням члены суммы в левой части выражения (2.16), сократятся. Тогда, переходя в силу элементарности размеров кубиков от суммирования к интегрированию, получим выражение (2.15), где интегрирование производится по поверхности, ограничивающей объем.

Заменим в соответствии с теоремой Остроградского-Гаусса поверхностный интеграл в (2.12) объемным

и представим суммарный заряд как интеграл от объемной плотности по объему

Тогда получим следующее выражение

Полученное соотношение должно выполняться для любого произвольно выбранного объема V. Это возможно только в том случае, если значения подинтегральных функций в каждой точке объема одинаковы. Тогда можно записать

(2.17)

Последнее выражение представляет собой теорему Гаусса в дифференциальной форме.

 

§2 Модель Томпсона.

Модель атома – сфера заряженного вещества, т.н. «Кекс с изюмом»

  Атом водорода. Заряд сферы +e

Если электрон отклонить, то он притягивается назад с F=eE

E=ρr/3ε0

ρ=e/(4/3)PiR3

E=er/3 ε0 (4/3)PiR3 = er/4Piε0R3 (по т. Гаусса)

F=e2r/4Piε0R3 - квазиупругая сила

F=kr k – коэффициент упругости

Электрон в атоме ведет себя как грузик на пружинке.

(?) Частота колебаний электрона ω=sqr(k/m)

= частоте излучений электрона (?) ω=sqr(e2/4Piε0R3m ) ~ 10 15 1/c R ~ 3 10 -10 м

[ω] = sqr (кл2 м / Ф м3 кг) = sqr (В Кл м / м3 кг) = sqr (Дж м / м3 кг) = sqr (кг м2 м / м3 кг с2) = 1/c

Частота видимого света (400 – 760 нм) в модели совпадает с полученной экспериментально частотой, однако эта теория просуществовала всего с 1903 – 1911

 Пpоводники в электрическом поле. Распределение заpядов в проводниках. Напpяженность и потенциал поля внутpи пpоводника пpи pавновесии заpядов. Поле вблизи повеpхности заpяженного пpоводника. Теоpема Кулона (связь между индукцией поля и поверхностной плотностью заpяда). Экранирование электрического поля. Электpостатическая защита. Электpоемкость пpоводника, фактоpы, от котоpых она зависит. Вычисление емкости шаpа. Конденсаторы. Емкость конденсатора. Вычисление емкости плоского и сфеpического конденсатоpов. Соединение конденсаторов в батареи. Энеpгия электpического поля. Плотность энергии электрического поля.