Атомная физика | Физические законы механики | Термодинамика | Электричество | Магнетизм | Оптика | Молекулярная физика | Физмат.ру
Математика 1 семестр | Математика 2 семестр | Математика 3 семестр | Математика 4 семестр | Интегралы | 1 курс

Законы геометрической оптики начало

Дисперсия и поглощение света

Полученное нами ранее выражение для скорости распространения света является достаточно грубым приближением. Однако, оно позволяет в принципе понять причину зависимости скорости света от частоты.

Заметим, что удовлетворительное описание зависимости фазовой скорости от частоты полученное нами выражение дает лишь при не слишком малой величине разности 0 и . Иначе амплитуда колебаний электронов становится слишком большой и некоторые наши утверждения оказываются неверными. Так, мы считали, что при колебании электронов не происходит диссипации механической энергии, что при больших амплитудах оказывается неверным. Кроме того, возникают некоторые проблемы с фазой колебаний.

Мы знаем, что при резонансе разность фаз колебаний вынуждающей силы (электрического поля ) и координаты равно /2. Это легко понять и запомнить после такого рассуждения.

При резонансе максимальны амплитуда и диссипация энергии. Значит, при резонансе максимальна мощность вынуждающей силы. Для этого необходимо, чтобы сила изменялась в фазе со скоростью:

 

.

 

Умножение экспоненты на мнимую единицу как раз и означает изменение фазы колебаний на /2. В таких условиях не будет пропорциональности между электрическим полем  и поляризованностью вещества  - они просто не совпадают по фазе, например, обращаются в нуль в разные моменты времени.

     X

 

 

 

     0

 

  

При малых потерях даже при не слишком большом различии 0 и  разность фаз колебаний электрона и электрического поля можно считать равной нулю (при  < 0) или  (при  > 0). Это обстоятельство важно для нас по нескольким причинам.

Зависимость разности фаз от частоты мы в свое время обсуждали. Тем не менее представляется уместным сказать здесь об этом несколько слов.

Рассмотрим этот вопрос на примере движения грузика на пружине. При действии медленно изменяющейся силы ( < 0)  наличие грузика, собственно, несущественно - внешняя сила уравновешивается упругой силой деформированной пружины, и в соответствии с законом Гука эта сила пропорциональна смещению грузика. Поэтому изменение координаты, смещение происходит в фазе с силой.

  n

 

 

1                            

   01       02

 

 

Более удивительным представляется случай, когда частота вынуждающей силы больше резонансной частоты, когда смещение и сила изменяются в противофазе: не просто понять, почему грузик смещается, например, вверх, тогда как сила направлена вниз, “тянет” его в противоположную сторону. Для этого может быть предложено такое объяснение.

При большой частоте несущественным оказывается наличие пружины. Движение грузика определяется законом Ньютона, т.е. в фазе с силой изменяется ускорение, а это последнее - изменяется в противофазе со смещением.

 

Общий ход показателя преломления от частоты показан на рисунке. При частотах 01, 02 происходит поглощение света, при частотах меньших или больших этих значений показатель преломления оказывается больше или меньше единицы. Это означает, что скорость распространения волны в веществе оказывается больше или меньше скорости света в вакууме. И это обстоятельство непосредственно связано с фазами колебаний электронов. Сколько-нибудь точный расчет, приводящий к такому результату, провести с нашим уровнем знаний не представляется возможным. Попробуем, тем не менее, понять причины изменения скорости распространения волны хотя бы качественно.

 

Дело в том, что, вообще говоря, скорость распространения электромагнитной волны и в веществе равна скорости волны в вакууме. Но при этом, проходя некоторый тонкий слой вещества, волна возбуждает в нем колебания электронов. В свою очередь, колебания электронов создают некоторую вторичную волну, которая складывается с волной, приходящей к этому слою. И здесь нам нужно провести достаточно тонкое рассуждение.

Сказанное означает, что за слоем колебания представляют собой сумму двух колебаний: колебаний проходящей волны и другой, “вторичной” волны, излученной колеблющимися электронами. Естественно, мы будем рассматривать (бесконечно) тонкий слой и амплитуда колебаний вторичной волны (бесконечно) мала. Но при этом амплитуда результирующих колебаний должна остаться прежней. Это возможно только в том случае, если эти колебания различаются по фазе на . И это приводит к удивительному результату.

   dE             dE

   E’              E

  E               E”

 

   t+-kx        t--kx

   t-k’x         t-k”x

Обратимся к векторной диаграмме, которую мы уже неоднократно использовали для сложения колебаний. Пусть на этой диаграмме колебания проходящей волны представлены вектором длиной E, а вторичной волны  dE. Как мы выяснили, эти векторы перпендикулярны и на рисунке показаны возможные взаимные расположения этих векторов.

С одной стороны в каждой точке частота колебаний одинакова. Но при переходе от точки к точке изменяется фаза колебаний, изменяется на kx. Таким образом, для этих колебаний в разных точках слагаемое -kx имеет смысл начальной фазы. Но при распространении света в веществе при переходе от точки к точке мы “подключаем” все новые и новые слои вещества, которые добавляют к начальной фазе колебаний плюс или минус . Иначе говоря, при одной и той же частоте в веществе при переходе от точки к точке фаза колебаний изменяется либо больше, чем на -kx, либо меньше чем в вакууме. Говоря иначе, волновое число k в веществе другое, не такое, как в вакууме. Поэтому и наблюдаемая фазовая скорость в веществе v = /k другая, отличная от скорости в вакууме c.

Вспомним еще раз, что мы говорим о частотах, достаточно сильно отличающихся от резонансной, и при этом в зависимости от знака разности 0- фаза колебаний электронов по отношению к фазе электрического поля принимает либо значение 0, либо - . Поэтому, в зависимости от 0- фазовая скорость либо меньше, либо больше c.

 

Глава 6. Применение квантовой механики.

§1 Движение мкч в свободном пространстве.

1.уравнение Шредингера и его решение

U(x) = 0

Состояние стационарное

(- ħ2/2m) (∂2 ψ /∂x2 ) = E ψ

E = p2/2m

(d2 ψ /dx2 ) + (2m/ħ2) E ψ = 0

(2m/ħ2) E = k2

(d2 ψ /dx2 ) + k2 ψ = 0

Ищем решение в виде ψ = e rx

(∂ ψ /∂x) = r ψ

(∂2 ψ /∂x2 ) = r2 ψ

r2 ψ + k2 ψ = 0

ψ != 0

r2 + k2 = 0 => r = +- ik

ψ = A e ikx + B e –ikx

2.собственные функции оператора энергии

k = sqr ((2m/ħ2) E) = sqr((2m/ħ2) (p2/2m)) = p/ ħ

ψ = A e –i (p/ ħ )x + B e –i (p/ ħ ) x

умножаем на временной множитель

f(t) = e –i/ ħ (Et)

 Ψ (x,t) =  ψ(x) e –i/ ħ (Et)

Ψ (x,t) = A e –i/ ħ (Et - px) + B e –i/ ħ (Et + px)

В этом случае полагают например B=0 (мкч движется в + направлении)

Ψ (x,t) = A e –i/ ħ (Et - px)

3. собственные значения энергии

(2m/ħ2) E = k2

E= k2 ħ2/2m

- Квадратичная функция.

Распределение молекул идеального газа по импульсам и скоростям (распределение Максвелла). Вычисление средней арифметической, средней квадратичной и наиболее вероятной скоростей. Теорема Больцмана о равномерном распределении энергии по степеням свободы молекулы. Внутренняя энергия идеального газа - расчет через число степеней свободы его молекул. Классическая теория теплоемкости идеального газа и ее недостатки. Средняя длина свободного пробега и среднее число столкновений молекул идеального газа в единицу времени. Газокинетический диаметр молекул и его зависимость от температуры.