Атомная физика | Физические законы механики | Термодинамика | Электричество | Магнетизм | Оптика | Молекулярная физика | Физмат.ру
Математика 1 семестр | Математика 2 семестр | Математика 3 семестр | Математика 4 семестр | Интегралы | 1 курс

Основы специальной теории относительности Теория относительности

Механический принцип относительности. Инвариантность относительно преобразований Галилея.

 Галилей еще в XVII в. сформулировал принцип относительности в механике, или механический принцип относительности.

 Механический принцип относительности. Механические явления во всех инерциальных системах отсчета происходят совершенно одинаково. Нельзя с помощью механических экспериментов, производимых в движущейся инерциальной системе отсчета, определить скорость ее движения (если не производить наблюдений тел из системы отсчета, относительно которой мы хотим определить скорость движения).

Покажем, что уравнения механики математически записываются совершенно одинаково во всех инерциальных системах отсчета. Для простоты рассмотрим движение материальной точки, т.е. тела, размерами которого можно пренебречь в рассматриваемой ситуации. Пусть это движение описывается в двух каких-нибудь инерциальных системах - в “покоящейся” системе K и в “движущейся” системе K'. Пусть в начальный момент времени декартовы оси этих систем совпадали и пусть система K движется вдоль оси x с постоянной скоростью v.

 Координаты точки M, отсчитываемые относительно движущейся и относительно покоящейся систем отсчета K и K' связаны следующими формулами преобразования:

которые называют формулами преобразования Галилея. Время при преобразованиях Галилея никак не преобразуем, так что следует положить, что .

Эту формулу тоже будем относить к формулам преобразования Галилея.

 Рассмотрим движение материальной точки M массы m относительно той и другой систем, происходящее, к примеру, вдоль оси x, под действием некоторой заданной силы F (действующей только вдоль оси x). Тогда в системах K и K' имеем следующие уравнения движения:  

которые математически совершенно одинаковы (инвариантны). При этом одно уравнение получается из другого с помощью преобразований Галилея. Действительно, согласно этим преобразованиям:

так как очевидно dv/dt = 0 (скорость v постоянна).

 Самыми фундаментальными объектами в физике являются точки и волны. Поэтому интересно посмотреть, а будет ли инвариантно относительно преобразований Галилея волновое уравнение, скажем, для простоты, одномерное волновое уравнение (уравнение Даламбера) для плоских волн, распространяющихся вдоль оси x. Пусть u = u(x,t) - волновая функция и c - скорость волны. Тогда имеем уравнение

Совершим в нем преобразование Галилея, другими словами - перейдем от независимых переменных x,t к переменным x',t', считая, что неизвестная волновая функция u теперь выражена в переменных x',t', т.е.

где 

Таким образом,

Следовательно,

Далее,

Следовательно,

Подставим полученные выражения для вторых производных в исходное волновое уравнение. Тогда получим, что

или

Как видим, получили совсем не Даламбера, а другое уравнение (в которое входит v).

 

Вращающий момент (или момент силы)

  Пусть на тело, в плоскости перпендикулярной оси вращения 1209.gifдействует сила 1079.gif(рис.5.2). Разложим эту силу на две составляющие: 1211.gifи 1212.gif

576.gif

 Сила 1211.gifпересекает ось вращения и, следовательно, не влияет на вращение тела. Под действием составляющей 1212.gifтело будет совершать вращательное движение вокруг оси 1209.gif.

 Расстояние 1213.gifот оси вращения до линии, вдоль которой действует сила, 1212.gifназывается плечом силы 1212.gif.

 Моментом силы относительно точки О называется произведение модуля силы 1153.gifна плечо 1213.gif

1214.gif

С учетом, что

1215.gif

момент силы

1216.gif.

 С точки зрения векторной алгебры это выражение представляет векторное произведение радиус-вектора 977.gif, проведенного в точку приложения силы 1079.gifна эту силу. Таким образом, момент силы относительно точки О является векторной величиной и равен

1217.gif

(5.1)

 Вектор момента силы направлен перпендикулярно к плоскости, проведенной через векторы 977.gifи 1079.gif, и образует с ними правую тройку векторов (при наблюдении из вершины вектора М видно, что вращение по кратчайшему расстоянию от 977.gifк 1079.gifпроисходит против часовой стрелки).

 В системе «СИ» единицей измерения момента силы называется Ньютон на метр ().

Предмет механики. Механикой называют раздел физики, посвященный изучению закономерностей простейшей формы движения материи - механического движения. Механика состоит из трех подразделов: кинематики, динамики и статики. Кинематика изучает движение тел без учета причин, его вызывающих. Она оперирует такими величинами как перемещение, пройденный путь, время, скорость движения и ускорение.