Конспект лекций по начертательной геометрии

Машиностроительное черчение
Единая система конструкторской
документации
Машиностроительные построения
Инженерная графика
Сборочный чертеж
Начертательная геометрия
Геометрические основы
построения чертежа
Конспект лекций по начертательной
геометрии
История искусства
Стили в искусстве Готика
Русский балетный театр
Русское изобразительное искусство
ТКМ
Материаловедение
Основы теории сплавов
Теория конструктивных материалов
Сопромат
Сопративление метериалов
Лабораторные работы
Задачи строительной механики
Лекции физика
Физика
Электричество
Магнетизм
Оптика
Электромагнетизм
Молекулярная физика
Лекции МАИ
Лекции МАИ часть 2
Диэлектрики
Квантовая механика
Физические законы механики
Электромагнитное взаимодействия
Атомные станции
Атомная энергетика
Экология энергетики
Атомная и ядерная физика
Теплотехника
Термодинамика
Билеты к экзамену по физике
Задачи физика электротехника
Решение задач по ядерной физике
Электростатика
Геометрическая оптика
Тепловое излучение
Основы теории сплавов
Теория относительности
Физические основы механики
Законы идеальных газов
Электростатика
Основы электротехники
Постоянный ток
Электромагнетизм
Оптика
Законы теплового излучения
Ядерная физика
Строение атома и молекул
Задачи математика
Математика
1 семестр
2 семестр
3 семестр
4 семестр
Интегралы
Лекции по высшей математике
Вычисление площадей в
декартовых координатах
Аналитическая геометрия
 
Информатика
Восстановление сети после аварии
Основные понятия и категории
информатики
Сетевые операционные системы

 

Геометрия - часть математики, изучающая пространственные формы и отношения тел.
Основными неопределяемыми понятиями геометрии являются точка, прямая, плоскость и расстояние.
В настоящее время геометрия имеет многочисленные разделы. Существуют элементарная, аналитическая, дифференциальная, начертательная, проективная, Лобачевского и другие геометрии.
Начертательная геометрия является тем разделом геометрии, который изучает теоретические основы методов построения изображений (проекций) геометрических фигур на какой-либо поверхности и способы решения различных позиционных и метрических задач, относящихся к этим фигурам, при помощи их изображений. В качестве поверхности, на которой строятся изображения (проекции) предметов, как правило, выбирается плоскость. В специальных разделах начертательной геометрии рассматривается построение изображений на других поверхностях, например, сферической, цилиндрической и т. п.

Начертательная геометрия основывается на аксиомах и теоремах элементарной геометрии и инвариантах центрального и параллельного проецирования.
Совокупность двух и более взаимосвязанных изображений предмета называется чертежом. Чертеж имеет исключительно большое значение в практической деятельности человека. Он является средством выражения замыслов ученого, конструктора и основным производственным документом, по которому осуществляется строительство зданий и инженерных сооружений, изготовление машин, механизмов и их составных частей.

Начертательная геометрия - грамматика этого языка.
Для построения изображений (проекций) геометрических фигур начертательная геометрия применяет метод проецирования. Получающиеся при этом чертежи называются проекционными.
Существует два вида проецирования - центральное и параллельное и соответственно два вида проекций - центральные и параллельные. Построение проекций предмета сводится к построению проекций некоторого множества его точек. Поэтому изучение метода проецирования начинают с построения проекций точки.

Метод проецирования

  • ЦЕНТРАЛЬНОЕ ПРОЕЦИРОВАНИЕ. ПОНЯТИЕ О ПРОЕКТИВНОМ ПРОСТРАНСТВЕ
  • ПАРАЛЛЕЛЬНОЕ ПРОЕЦИРОВАНИЕ
  • ИНВАРИАНТЫ ПАРАЛЛЕЛЬНОГО ПРОЕЦИРОВАНИЯ
  • ОРТОГОНАЛЬНОЕ ПРОЕЦИРОВАНИЕ
  • Масштабы

    (ГОСТ 2.302 – 68*)

     Масштабом называется отношение линейных размеров изображения предмета на чертеже к его действительным размерам.

     Предпочтительно выполнять чертежи так, чтобы размеры изображения и самого предмета были равны, т.е. в масштабе 1:1. Однако, в зависимости от величины и сложности предмета, а также от вида чертежа часто приходится размеры изображения увеличивать или уменьшать по сравнению с истинными. В этих случаях прибегают к построению изображения в масштабе.

     Согласно ГОСТ 2.302 -68* установлены следующие масштабы:

     натуральная величина – 1:1;

     масштабы уменьшения – 1:2; 1:2,5; 1:4; 1:5; 1:10; 1:15; 1:20; 1:25; 1:40; 1:50; 1:75; 1:100; 1:200; 1:400; 1:500; 1:800; 1:1000;

     масштабы увеличения – 2:1; 2,5:1; 4:1; 5:1; 10:1; 20:1; 40:1; 50:1; 100:1.

     При проектировании генеральных планов крупных объектов допускается применение масштабов 1:2000; 1:5000; 1:10000; 1:20000; 1:25000; 1:50000.

     При выборе масштаба следует руководствоваться, прежде всего, удобством пользования чертежом.

     Масштаб, указываемый в графе, имеющей заголовок «Масштаб» (в основной надписи, в таблицах), обозначают по типу 1:1; 1:2; 2:1 и т. д.

     Масштаб изображения, отличающийся от указанного в основной надписи, указывают в скобках (без буквы М) рядом с обозначением изображения.

     Например: А (2:1); Б – Б (2:1).

     

    Линии

    (ГОСТ 2.303 – 68*)

     ГОСТ 2.303 - 68* устанавливает начертания и основные назначения линий на чертежах всех отраслей промышленности и строительства (таблица 1.2)

     Толщина сплошной толстой основной линии S должна быть 0,5…1.4 мм, в зависимости от величины и сложности изображения, а также от формата чертежа. Выбранные толщины линий должны быть одинаковыми для всех изображений на данном чертеже.

     При выполнении учебных чертежей надо учитывать, что от правильного применения линий по их назначению, правильного выбора их толщин, качественного выполнения штриховых и штрих–пунктирных линий в большой мере зависит удобство пользования чертежом.

     Штрихи штрих–пунктирной линии должны быть одинаковой длины. Одинаковыми оставляют и промежутки между штрихами. Штрих–пунктирные линии заканчивают штрихами. Центр окружности во всех случаях определяется пересечением штрихов.

    Линии чертежа

    Табл.1.2

    n/n

     Наименование и 

     начертание

    Толщина линий по отношению к основной линии

     Основное

     назначение 

    1.

    Сплошная толстая основная (в дальнейшем основная)

     

     S(0,5…1,4)

    Линии видимого контура;

    линии перехода видимые;

    линии контура сечения (вынесенного и входящего в состав разреза)

    2.

    Сплошная тонкая 

     

     S/3…S/2

    (0,4…0,7)

    Линии контура наложенного сечения;

    линии размерные, выносные;

    линии штриховки;

    линии-выноски, полки линий выносок;

    линии перехода воображаемые;

    линии для изображения пограничных деталей (обстановка);

    линии ограничения выносных элементов.

    3.

    Сплошная волнистая

     S/3…S/2

    Линии обрыва;

    линии разграничения вида и разреза.

    4.

    Штриховая

     S/3…S/2

    Линии невидимого контура;

    линии перехода невидимого контура.

    5.

    Штрих-пунктирная тонкая

     S/3…S/2

    Линии осевые и центровые;

    линии сечений, являющиеся осями симметрии для наложенных или вынесенных сечений.

    6.

    Разомкнутая

     S…1,5S

    Линии сечения

    7.

    Штрих-пунктирная тонкая с двумя точками

     S/3…S/2

    Линии сгиба на развертках;

    линии для изображения частей изделий в крайних или промежуточных положениях;

    линии для изображения развертки, совмещенной с видом.

    8.

    Сплошная тонкая с изломами

    S/3…S/2

    Длинные линии обрыва

    9.

    Штрих-пунктирная утолщенная

    S/2…2/3S

    Линии, обозначающие поверхности, подлежащие термообработке или покрытию;

    линии для изображения элементов, расположенных перед секущей плоскостью («наложенная проекция»)

    Рис.1.4

     На рисунке 1.4 показан пример применения различных типов линий.

     

    Шрифты чертежные

    (ГОСТ 2.304 – 81*)

     Все надписи на чертежах следует выполнять шрифтами, установленными ГОСТ 2.304 – 81* «Шрифты чертежные».

     Шрифты различают по типам и размерам.

     Размер шрифта h определяется высотой прописных (заглавных) букв в миллиметрах, измеряемой перпендикулярно к основанию строки. Установлены следующие размеры шрифта: (1,8); 2,5; 3,5; 5; 7; 10; 14; 20; 28; 40. Применение шрифта размером 1,8 не рекомендуется.

     Стандартом установлены два типа шрифта: А и Б. Тип шрифта определяет кратность толщины d линии букв размеру шрифта: для типа А:d=(1/14)h, для типа Б:d=(1/10)h. Шрифты могут быть выполнены без наклона или с наклоном около 75 градусов к основанию строки.

    Параметры шрифта

    Толщина линии шрифта d определяется в зависимости от типа и высоты шрифта.

     Ширина g буквы определяется по отношению к размеру шрифта h, например: g=(6/10)h, или по отношению к толщине линии шрифта d, например: g=6d. Шрифты в ГОСТ 2.304 – 81* выполнены по вспомогательной сетке, образованной вспомогательными линиями, в которую вписываются буквы. Шаг вспомогательных линий сетки определяется в зависимости от толщины линий шрифта d. Построение шрифта на вспомогательной сетке показано на рис1.5.

    Контрольные вопросы

    1. Что называют масштабом?

    2. Как обозначают на чертежах масштаб изображения?

    3. Что определяет формат листа чертежа?

    4. Какие форматы листов установлены для чертежей?

    5. Какая форма основной надписи установлена для чертежей и схем?

    6. Где располагают на чертеже основную надпись и дополнительную графу?

    7. Какая линия на чертежах является основной?

Комплексные чертежи геометрических фигур

Способы преобразования комплексного чертежа

Позиционные задачи

МЕТРИЧЕСКИЕ ЗАДАЧИ

КОМПЛЕКСНЫЕ ЗАДАЧИ

ПРИМЕРЫ РЕШЕНИЯ КОМПЛЕКСНЫХ ЗАДАЧ

ПОСТРОЕНИЕ РАЗВЕРТОК ПОВЕРХНОСТЕЙ

ПРЯМЫЕ И ПЛОСКОСТИ, КАСАТЕЛЬНЫЕ К КРИВОЙ ПОВЕРХНОСТИ

Построение перпендикуляра к середине отрезка

Порядок построения следующий (рис.2.2):

1. Из концов отрезка АВ проводят дуги радиусом R, величиной большей, чем половина отрезка.

2. Точки пересечения дуг соединяют прямой линией СD.

Линия CD является перпендикуляром к отрезку АВ, точка О – середина отрезка.

Деление отрезка

2.2.1.. Деление отрезка на любое число равных частей

Деление отрезка на 6 равных частей показано на рис. 2.3.

1. Из любого конца отрезка АВ, например, из точки А, проводим луч под острым углом к отрезку.

2. На луче от точки А циркулем откладываем 6 равных отрезков произвольной длины.

3. Конец последнего отрезка, точку 6, соединяем с точкой В.

4. Из всех точек на луче проводим прямые, параллельные 6В, до пересечения с АВ.

Эти прямые разделяют отрезок АВ на шесть равных частей.

Рис.2.3 Рис.2.4

 

 

Деление окружности на пять равных частей

(Построение правильного пятиугольника, вписанного в окружность)

Построения показаны на рисунке 2.4.

Из точки С – середины радиуса окружности, как из центра, дугой радиуса СD сделать засечку на диаметре, получим точку М. Отрезок DМ равен длине стороны вписанного правильного пятиугольника. Сделав радиусом DМ засечки на окружности, получим точки деления окружности на пять равных частей (вершины вписанного правильного пятиугольника).

Деление окружности на шесть равных частей (Построение правильного шестиугольника, вписанного в окружность)

Построения показаны на рисунке 2.5.

Сторона правильного шестиугольника, вписанного в окружность, равна радиусу окружности.

Для деления окружности на шесть равных частей надо из точек 1 и 4 пересечения центровой линии с окружностью сделать на окружности по две засечки радиусом R, равным радиусу окружности. Соединив полученные точки отрезками прямых, получим правильный шестиугольник.

 Рис.2.5 Рис.2.6

 

 

Определение центра дуги окружности

 Построения показаны на рисунке 2.6.

1. Назначить на дуге три произвольные точки А, В и С.

2. Соединить точки прямыми линиями.

3. Через середины полученных хорд АВ и ВС провести перпендикуляры.

Точка О пересечения перпендикуляров является центром дуги.

Сопряжения

Сопряжением называется плавный переход от одной линии к другой.

Роль плавных переходов в очертаниях различных изделий техники огромна. Их обуславливают требования прочности, гидроаэродинамики, промышленной эстетики, технологии. Чаще всего сопряжения осуществляют с помощью дуги окружности.

Из всего многообразия сопряжений различных линий рассмотрим наиболее распространенные:

 1. Сопряжение двух прямых линий.

 2. Сопряжение прямой линии и окружности.

 3. Сопряжение двух окружностей.

Дуги окружностей, при помощи которых выполняется сопряжение, называют дугами сопряжения.

Алгоритм построения

 1. Найти центр сопряжения;

 2. Найти точки сопряжения, в которых дуга сопряжения переходит в сопрягаемые линии.

 3. Построить дуги сопряжения, значит соединить точки сопряжения заданным радиусом сопряжения.

2.4.1.Сопряжение пересекающихся прямых линий при помощи дуги заданного радиуса.

КАТАЛОГ ИЛЛЮСТРАЦИЙ

РАЗДЕЛ 1. Метод проецирования

Параллельные проекции точек на плоскость проекций
Параллельное проецирование на плоскость

Аксиомы параллельного проецирования
Примеры построения обратимых чертежей

Ортогональная проеция точки на плоскость проекций
Примеры комплексных чертежей технических форм
Инвариантные свойства параллельного проецирования

РАЗДЕЛ 2. Геометрические фигуры

Комплексный чертеж точки
Комплексный чертеж точки
Построение третьей проекции точки
Комплексный чертеж прямой линии

РАЗДЕЛ 3. Прямые частного положения

Принадлежность точки прямой линии
Горизонтально проецирующая прямая
Фронтально проецирующая прямая
Профильно проецирующая прямая
Примеры ломаных линий
Комплексные чертежи ломаных линий

РАЗДЕЛ 4. Кривые линии

Параметры кривых линий
Винтовая линия

РАЗДЕЛ 5. Плоскости

Способы задания плоскостей
Комплексный чертеж плоскости общего положения

Построение проекций плоского многоугольника

Горизонтально проецирующая плоскость

Фронтально проецирующая плоскость

Профильно проецирующая плоскость

Горизонтальная плоскость уровня

Фронтальная плоскость уровня

Профильная плоскость уровня
Дважды косой цилиндроид

РАЗДЕЛ 6. Многoгранники

Примеры многогранных поверхностей
Комплексные чертежи многогранников
Призматоид

РАЗДЕЛ 7. Кривые поверхности

Пример поверхности, заданной аналитически
Определитель поверхности цилиндра
Определитель проверхности конуса
Определитель поверхности сферы
Очерки проекций поверхностей
Задание поверхностей с помощью очерков
Линейчатые развертываемые поверхности

Цилиндрические поверхности
Эллиптические цилиндры
Круговые конические поверхности
Эллиптические конические поверхности
Линейчатая поверхность общего вида
Построение образующей линейчатой поверхности
Дважды косой коноид
Параболические сечения на поверхности косой плоскости
Параболические сечения косой плоскости

РАЗДЕЛ 8. Винтовые поверхности
Прямой геликоид ( пространственная модель)

Наклонный геликоид (пространственная модель)

РАЗДЕЛ 9. Поверхности вращения

Цилиндрическая поверхность общего вида

Поверхность Ешера
Кинематический метод построения поверхностей

РАЗДЕЛ 10. Способы преобразования чертежа

Замена фронтальной плоскости проекций

Замена горизонтальной плоскости проекций

Расположение объектов относительно плоскостей проекций

Две последовательные замены плоскостей проекций

Преобразование прямой общего положения во фронталь

Преобразование прямой уровня в проецирующую

Преобразование плоскости общего положения в проецирующую

Преобразование плоскости общего положения в проецирующую

Преобразование проецирующей плоскости в плоскость уровня

Преобразование плоскости общего положения в плоскость уровня

Вращение точки вокруг горизонтально проецирующей оси

Вращение точки вокруг оси

Вращение вокруг фронтально проецирующей прямой

Поворот прямой до фронтального положения

Определение истинной величины треугольника

Вращение вокруг линии уровня

Вращение точки вокруг линии уровня

Преобразование плоскости общего положения в проецирующую

Преобразование проецирующей плоскости в плоскость уровня

Преобразование плоскости общего положения в проецирующую

Преобразование линии уровня в проецирующую прямую

РАЗДЕЛ 11. Способ вращения

Прямой цилиндроид

Прямой коноид

Косая плоскость

Прямой геликоид

Наклонный геликоид

Поверхность вращения общего вида

Цилиндр вращения

Конус вращения

Однополостный гиперболоид вращения

Комплексный чертеж сферы

Комплексный чертеж тора

Пример каналовой поверхности

Циклическая поверхность

Трубчатая поверхность


РАЗДЕЛ 12. Позиционные задачи

Проекции параллельных прямых
Проекции параллельных прямых
Параллельность профильных прямых
Рис. 4.4
Скрещивающиеся прямые
Прямая параллельная плоскости
Плоскость параллельная заданной прямой
Взаимная параллельность двух плоскостей
Теоремы стереометрии о перпендикулярности
Проекции прямого угла
Проекции прямого угла
Проекции прямого угла
Прямая, перпендикулярная к плоскости
Прямая перпендикулярная к плоскости
Плоскость, перпендикулярная к прямой
Линии наибольшего наклона
Прямая, перпендикулярная горизонтально проецирующей плоскости
Прямая, перпендикулярная фронтально проецирующей плоскости
Взаимная перпендикулярность двух прямых
Взаимно перпендикулярные прямые
Взаимнo перпендикулярные плоскости
Взаимно перпендикулярные плоскости общего положения
Построение точки пересечения прямой с проецирующей плоскостью
Пересечение плоскости общего положения с проецирующей плоскостью
Построение линии пересечения двух проецирующих плоскостей
Построение точки пересечения линии с поверхностью
Построение точки пересечения пространственной кривой с плоскостью
Пересечения прямой линии с плоскостью
Пересечение прямой линии с поверхностью многогранника
Пересечения прямой с эллиптическим цилиндром
Пересечения прямой с эллиптическим цилиндром
Пересечения прямой с эллиптическим цилиндром
Пересечения прямой уровня со сферой
Пересечения прямой общего положения со сферой
Вторая позиционная задача
Построение линии пересечения двух плоскостей
Пересечение двух плоскостей, заданных проекциями многоугольников
Пересечения пирамиды с плоскостью
Построение линии пересечения пирамиды с плоскостью
Пересечение кривой поверхности с плоскостью
Пересечение конуса врвщения плоскостью общего положения
Пересечение эллиптического цилиндра с плоскостью
Пересечение кривой поверхности с плоскостью
Пересечение конуса вращения с плоскостью
Конические сечения
Пересечение двух многогранников
Построение линии пересечения двух многогранников
Пересечение сферы и конуса
Пересечение пирамиды и конуса
Соосные поверхности вращения
Соосные поверхности вращения_1
Способ эксцентрических сфер
Пересечение тора и конуса вращения
Пересечение поверхностей тора и конуса
Распадение линии пересечения кривых поверхностей 2-го порядка на линии более низких порядков
Теорема о двойном касании
Касание поверхностей второго порядка в двух точках
Построение круговых сечений на кривых поверхностях 2-го порядка
К теореме Монжа

РАЗДЕЛ 13. Метрические задачи

Определение расстояния между прямой и точкой
Окружность вписанная в плоский треугольник общего положения

РАЗДЕЛ 14. Комплексные задачи

Примеры комплексных задач
Комплексная задача 1
Примеры комплексных задач 2
Комплексная задача 2

РАЗДЕЛ 15. Развертки поверхностей

Геометрические свойства разверток
Развертка наклонной пирамиды
Развертка поверхности наклонной призмы
Развертка поверхности эллиптического конуса
Развертка поверхности прямого кругового конуса
Развертка поверхности эллиптического цилиндра
Условная развертка поверхност сферы

РАЗДЕЛ 16. Касательные прямые и плоскости

Плоскости, касательные к поверхностям
Плоскости, касательные к поверхности эллиптического конуса
Плоскости, касательные к поверхности эллиптического цилиндра

Построение плоскости, касательной к поверхности тора
Плоскости, касательные к поверхности тора