Атомная физика | Физические законы механики | Термодинамика | Электричество | Магнетизм | Оптика | Молекулярная физика |
Математика 1 семестр | Математика 2 семестр | Математика 3 семестр | Математика 4 семестр | Интегралы | 1 курс

Конспект лекций по начертательной геометрии Начертательная геометрия

МЕТОД ПРОЕЦИРОВАНИЯ

ЦЕНТРАЛЬНОЕ ПРОЕЦИРОВАНИЕ. ПОНЯТИЕ О ПРОЕКТИВНОМ ПРОСТРАНСТВЕ

Для того чтобы построить проекцию некоторой точки А, выбирается произвольная плоскость П1, называемая плоскостью проекций, и точка S, не принадлежащая плоскости П1, называемая центром проекций (рис. 1.1).

pr1_21.JPGРис.1.1 (анимационный)

Операция проецирования состоит в том, что через точки S и А проводится прямая до пересечения с плоскостью П1. Напомним, что для просмотра процесса построения точки во времени (в динамике) необходимо навести графический курсор с помощью мыши на соответствующий рисунок. Для просмотра анимации на полном экране произведите на изображении щелчок левой кнопкой. Прямая SА называется проецирующей прямой, а точка А1, пересечения проецирующей прямой с плоскостью проекций П1, - центральной проекцией точки А. На плоскости П1, можно построить центральные проекции всех точек пространства, за исключением тех, которые принадлежат плоскости П1', проходящей через центр проекций S и параллельной П1. В этом случае проецирующие прямые оказываются параллельными плоскости П1 (прямая SC на рис. 1.1) и точек пересечения их с плоскостью в обычном смысле нет. Этот недостаток центрального проецирования устраняется дополнением евклидова пространства так называемыми бесконечно удаленными или несобственными элементами.
Пространство Евклида, дополненное несобственными элементами, называется проективным.
Сущность введения несобственных элементов заключается в следующем:
1) каждая прямая, кроме множества обыкновенных точек, имеет одну несобственную; несобственная точка прямой есть эквивалент понятия направление прямой;
2) параллельные прямые имеют общую несобственную точку (пересекаются в ней);
3) плоскость имеет множество несобственных точек, которые образуют несобственную прямую плоскости;
4) параллельные плоскости имеют общую несобственную прямую (пересекаются по несобственной прямой);
5) множество всех несобственных точек и прямых пространства образует несобственную плоскость.
Дополнение евклидова пространства несобственными элементами позволяет ликвидировать исключения в основных положениях элементарной геометрии и утверждать:
1) каждые две прямые, принадлежащие одной плоскости, всегда пересекаются (в собственной или несобственной точках);
2) две любые плоскости пространства всегда пересекаются (линия пересечения - собственная или несобственная прямая);
3) прямая и плоскость всегда пересекаются (в собственной или несобственной точках). следовательно, проекцией точки C, принадлежащей плоскости П1' П1 будет несобственная точка C1.
Описанным методом центрального проецирования может быть построена проекция любой точки геометрической фигуры, а следовательно, и проекция самой фигуры. Например, центральной проекцией отрезка [AB] на плоскости П1 является множество центральных проекций всех точек отрезка [AВ] [A1B1] (рис. 1.2). pr1_31.JPG

Рис. 1.2 (анимационный)

При центральном проецировании происходит искажение формы, размеров и некоторых других свойств предмета (рис. 1.3). Вместе с тем, нетрудно заметить, что часть свойств сохраняется, например, проекция точки является точкой; проекция прямой - тоже прямая линия; если точка принадлежит прямой, то проекция точки принадлежит проекции той же прямой; точка пересечения прямых проецируется в точку пересечения их проекций. Проекция предмета, построенная методом центрального проецирования, называется перспективой (рис. 1.3).
Построение проекций заданного объекта называется прямой задачей начертательной геометрии. Нетрудно заметить, что метод центрального проецирования позволяет решать ее однозначно: каждая точка имеет на плоскости П1 единственную проекцию, так как проецирующая прямая пересекается с плоскостью П1 в одной точке. Так, точка А (рис. 1.1) имеет на плоскости П1 единственную проекцию А1, отрезок [ВС] - единственную проекцию [В1С1], любая геометрическая фигура - единственную проекцию. pr1_4.JPG

Рис. 1.3

В практической деятельности необходимо уметь не только создавать чертежи, но и читать их, т. е. судить по чертежу однозначно о самом предмете. Определение формы и размеров объекта по его чертежу называется обратной задачей начертательной геометрии. Одна проекция - точки не определяет ее положения в пространстве, так как может быть проекцией любой точки, принадлежащей проецирующей прямой. Так, точка А1 (рис. 1.1) может быть проекцией любой точки, принадлежащей прямой SА; [A1B1] на рис.1.2 - проекцией любой линии, принадлежащей проецирующей плоскости, определяемой точкой S и прямой ВС. Следовательно, одна проекция объекта не позволяет судить о его форме и размерах, т. е. однопроекционный чертеж является необратимым.

 М е т о д и к а п р о в е д е н и я о п ы т а и о б р а б о т к а

 р е з у л ь т а т о в: 1. Задают исходные данные опыта: длину балки , координаты приложения внешних нагрузок  и , ступень нагружения . Штангенциркулем измеряют размеры поперечного сечения  и  балки 2 с точностью 0,1 мм. Устанавливают противовес 8 у опоры балки, а стрелку индикатора 7 – на нуль. Исходные данные и отсчет по шкале рычага 9 записывают в журнал наблюдений.

 2. Прикладывают к каждому гиревому подвесу 3 нагрузку и фиксируют показания индикатора 7. Затем перемещением противовеса 8 по рычагу 9 добиваются возвращения стрелки индикатора 7 к нулевой отметке и фиксируют длину уравновешивающего плеча  рычага 9.

Увеличивая нагрузку равными ступенями , повторяют опыт два – три раза. Все данные заносят в журнал наблюдений и после этого балку разгружают.

Согласно требованиям раздела 4 обрабатывают результаты опыта и по формуле (3.43) определяют опытное значения момента в защемлении .

3.Используя способ Верещагина, определяют углы поворота сечения   балки от силы (), от момента (), и по формуле (3.42) вычисляют теоретическое значение момента в защемлении .

Проводят сравнение полученных результатов.

Содержание отчета

Название лабораторной работы.

Цель работы.

Измерительные приборы.

Расчетные схемы для раскрытия статической неопределимости балки.

Исходные данные.

Пролет балки . 5.2. Удаление сил от опор .

Высота поперечного сечения балки .

Ширина поперечного сечения балки .

Вес противовеса на уравновешивающем рычаге .

Осевой момент инерции . 5.7. Модуль упругости .

Цена деления индикатора .

Результаты наблюдений.

п/п

Нагрузка

Приращение нагрузки

Показания индикатора

Данные по уравновешивающему рычагу

Отсчет плеча

Приращение отсчета плеча

Средние значения показаний

7. Определение опытного значения момента в защемлении .

8. Теоретическое определение момента в защемлении .

9. Сравнение опытных и теоретических значений.

Вопросы для самоконтроля

Какова цель лабораторной работы?

Каково устройство лабораторной установки?

Какие балки называют статически неопределимыми?

Как определяют степень статической неопределимости балки?

В каком порядке производят расчет статически неопределимых балок?

Какими методами решаются статически неопределимые балки?

7. Что представляет собой метод сравнения перемещений, и почему его так называют? Каков его геометрический смысл?

8. Как вычисляют изгибающие моменты и поперечные силы в произвольном сечении статически неопределимой балки?

9. Как обеспечивается условие защемления балки в лабораторной установке?

10. Для чего применяют в лабораторной работе индикатор часового типа?

11. Как определяют опытным путем момент в защемлении статически неопределимой балки?

12.  Как изменится величина неизвестного момента в защемлении, если балку повернуть на 90° вокруг продольной оси?

13. Что такое основная система?

14.  Что такое эквивалентная система?

15. Как изменится величина неизвестного момента в защемлении, если увеличить (уменьшить) размеры поперечного сечения балки?

Литература: [6] - § 9.1; [7] - §§ 63,64.