Атомная физика | Физические законы механики | Термодинамика | Электричество | Магнетизм | Оптика | Молекулярная физика |
Математика 1 семестр | Математика 2 семестр | Математика 3 семестр | Математика 4 семестр | Интегралы | 1 курс

Конспект лекций по начертательной геометрии Начертательная геометрия

Комплексные чертежи геометрических фигур

 

2.1. КОМПЛЕКСНЫЙ ЧЕРТЕЖ ТОЧКИ

pr2_17.JPG Рис. 2.1

Рассмотрим систему двух взаимно перпендикулярных плоскостей П1 и П2 (рис. 2.1). ПлоскостьП1 расположим горизонтально и назовем горизонтальной плоскостью проекций, а плоскость П2, перпендикулярную П1, расположим прямо перед собой и назовем фронтальной плоскостью проекций.
Линия х12 их пересечения называется осью проекций.
Возьмем какую-нибудь точку А (рис. 2.1) и построим ее ортогональные проекции А1 и А2 соответственно на плоскостях П1 и П2.
Точка А1 называется горизонтальной проекцией точки А, а точка А2 - ее фронтальной проекцией.
Точка А и ее ортогональные проекции А1 и А2 принадлежат одной плоскости
[(АА1) (АА2)], перпендикулярной П1, П2 и оси х12.
Расстояние | АА1 | точки А до плоскости П1 называется высотой точки А, а ее расстояние | АА2 | до плоскости П2 - глубиной точки А.
Пространственная модель плоскостей проекций (рис. 2.1) неудобна для практического использования, так как на плоскости П1 происходит искажение формы и размеров горизонтальной проекции геометрической фигуры. Для того, чтобы перейти от пространственной модели плоскостей проекций к более простой плоскостной модели, т. е. к плоскому чертежу, совместим плоскость П1 с плоскостью П2, вращая ее вокруг оси х12 в направлении, указанном на рис. 2.1 стрелками. В результате получим комплексный чертеж точки А, состоящий из комплекса двух ее проекций А1 и А2, принадлежащих одной прямой, перпендикулярной оси
х12 (рис. 2.1, б). Прямая (А1А2) х12, соединяющая две проекции точки на комплексном чертеже, называется линией связи. Полученный таким образом комплексный чертеж точки будет обратимым, так как две ее проекции А1 и А2 однозначно определяют положение точки А в пространстве.
В технической практике для определения формы и размеров предмета применяется принцип внутреннего координирования, при котором задаются размеры предмета, характеризующие форму и взаимное расположение его точек, линий и поверхностей относительно его конструкторских и технологических баз, а не относительно плоскостей проекций. Поэтому в технике принят безосный способ выполнения чертежей. Плоскости проекций при этом в пространстве не фиксируются, ось проекций становится неопределенной и на чертеже не наносится (рис. 2.1, в). Основанием для этого является то, что проекция геометрической фигуры не изменяется при параллельном переносе плоскости проекций (п. 7, раздел 1.3).
Линия связи [А1А2] на безосном комплексном чертеже проводится вертикально. Если по каким-либо причинам необходимо зафиксировать плоскости проекций П1 и П2, то на безосном комплексном чертеже наносится ось проекций х12 перпендикулярно линиям связи в любом удобном месте между горизонтальной и фронтальной проекциями геометрической фигуры.

pr2_16.JPG Рис. 2.2

Во многих случаях для выявления формы и размеров предмета приходится строить его проекции не на две, а на большее количество плоскостей. Большая часть предметов требует построения трех проекций. Для построения третьей проекции предмета применяется профильная плоскость проекций П3, перпендикулярная П1 и П3 (рис. 2.2).
Ортогональная проекция А3 точки А на профильную плоскость проекций называется профильной проекцией точки. Расстояние /АА3/ точки А до плоскости П3 называется широтой точки А.
Очевидно, что две любые проекции точки А определяют ее положение в пространстве (рис. 2.2).
Процесс построения комплексного чертежа точки показан на динамическом рисунке (слайде) рис. 2.3.
pr1_21.JPG

Рис.2.3 (анимационный)

Образование комплексного чертежа точки А (рис. 2.2, б) понятно из пространственного чертежа.
По двум заданным проекциям точки можно построить ее третью проекцию, пользуясь условиями связи между проекциями точки на комплексном чертеже (рис. 2.2, б):
1) горизонтальная и фронтальная проекции точки принадлежат одной вертикальной линии связи;
2) фронтальная и профильная проекции точки принадлежат одной горизонтальной линии связи;
3) горизонтальная и профильная проекции точки принадлежат ломаной линии связи, вершина которой принадлежит постоянной прямой k чертежа (прямая k является биссектрисой прямого угла, образованного ломаной линией связи).
На безосном комплексном чертеже условия связи между проекциями точки сохраняются (рис. 2.2, в).
Если задана система взаимосвязанных точек А, В, С, то по двум проекциям каждой из них можно построить третью, если на нем имеются три проекции одной из них, например точки А (рис. 2.4, a). Точка А называется при этом базовой.
Если принять плоскости проекций П12 и П3 за координатные плоскости декартовой системы координат, то длины отрезков, выражающих расстояния точки А до плоскости проекций, отнесенные к единице длины /е/, будут координатами точки А (рис. 2.2, a, б):
|AA3| / |e| = x - абсцисса (широта),
|AA2| / |e| = у - ордината (глубина),
|AA1| / |e| = z - аппликата (высота).

pr2_18.JPG Рис. 2.4
В технических чертежах за единицу длины принимают
|е| = 1 мм. По координатам точки А(хуz) можно построить ее проекции, а по заданным проекциям определить ее координаты (рис. 2.2, б). При безосном способе изображения координаты точки становятся неопределенными. В этом случае для построения комплексного чертежа точки можно воспользоваться разностями координат, которые не зависят от положения плоскостей проекций (рис. 2.4, б), или построить на нем проекции координатных осей [11] и отнести точку к системе координат Охуz (рис. 2.4, в).

Рис. 2.5 (анимационный)

На рис. 2.5 показана анимационная сцена построения третьей проекции плоской геометрической фигуры по двум заданным.

Выводы

1.Совокупность двух и более взаимосвязанных ортогональных проекций геометрической фигуры, расположенных на одной плоскости чертежа, называется комплексным чертежом.
2. Обратимый комплексный чертеж должен содержать не менее двух проекций геометрической фигуры.
3. Для того чтобы чертеж геометрической фигуры был обратим, он должен содержать столько проекций, чтобы каждая ее точка имела не менее двух проекций.

М е т о д и к а п р о в е д е н и я  о п ы т а и о б р а б о т к а

р е з у л ь т а т о в: 1. Задают исходные данные опыта: координаты приложения внешних нагрузок  и , штангенциркулем измеряют размеры поперечного сечения  рамы 1 с точностью 0,1 мм. Определяют ступень нагружения из условия упругой деформации системы:

 . (3.47)

Максимальный изгибающий момент  определяют, построив эпюру изгибающего момента в основной системе, от заданных нагрузок согласно схеме (рис. 3.22, в). Тогда приняв число опытов , величину ступени нагружения принимают:

 . (3.48)

Исходные данные заносят в журнал наблюдений.

2. Устанавливают стрелку индикатора 7 на нуль. Прикладывают к каждому гиревому подвесу 4 нагрузку  и записывают в журнал наблюдений показания индикатора. При помощи динамометра 5 возвращают опору 6 в начальное положение, т. е. раму нагружают динамометром до тех пор, пока стрелка индикатора 7 не вернется в исходное положение. Динамометр фиксируется стопором 3, а его показания также записываются в журнал наблюдений. Затем, увеличивая нагрузку равными ступенями , повторяют опыт не менее двух- трех раз. Все данные заносят в журнал наблюдений. Разгружают раму.

3. Согласно требованиям раздела 4 обрабатывают результаты опыта и определяют среднее значение приращений  показаний индикатора 7, приходящихся на ступень нагружения  , а затем вычисляют опытное значение перемещения подвижной опоры статически определимой рамы (основной системы) по формуле:

 , (3.49)

где С – цена деления индикатора.

4. Опытное значение усилия распора  (“лишнюю связь”) определяют непосредственно по приращениям  показаний динамометра 5, т.е. .

 5. Загрузив согласно рис. 3.22,в раму нагрузками , строят грузовую эпюру , а затем, приложив согласно рис. 3.22,б в направлении  единичную силу = 1, строят единичную эпюру .

 После этого по формуле (3.45) вычисляют теоретическое значение перемещения подвижной опоры  и коэффициент , а из канонического уравнения метода сил (3.46) определяют теоретическое значение “лишней” неизвестной .

В заключение проводят сравнение полученных опытных и теоретических значений.

Содержание отчета

Название лабораторной работы.

Цель лабораторной работы.

Измерительные приборы.

Расчетная схема рамы, эпюры изгибающих моментов.

Исходные данные.

Расстояние между опорами .

Высота от оси опоры до средней линии рамы .

Высота поперечного сечения рамы .

Ширина поперечного сечения рамы .

Расстояние от опоры до точки приложения нагрузки .

Модуль продольной упругости материала рамы .

Осевой момент инерции сечения .

Цена деления индикатора .

Результаты эксперимента.

 №

п/п

Нагрузка,

Приращение нагрузки,

Показания индикатора

Приращение показаний индикатора,

Показания динамометра,

Приращение показаний динамометра,

Средние значения показаний

Опытное определение величин.

Горизонтальные перемещения подвижной опоры статически определимой рамы .

Распорное усилие статически неопределимой рамы .

Расчетные схемы для раскрытия статической неопределимости рамы.

Теоретическое определение величин.

Горизонтальное перемещение подвижной опоры статически определимой рамы .

Распорное усилие статически неопределимой рамы .

Сравнение опытных и теоретических значений.

Вопросы для самоконтроля

Какова цель лабораторной работы?

Как записывается выражение для определения перемещений по методу Мора?

В каком порядке производится определение перемещений по формуле Мора?

В чем достоинства и недостатки метода Мора?

В чем заключается способ Верещагина для вычисления интеграла Мора?

Какие системы называются статически неопределимыми?

Что называется степенью статической неопределимости и как она вычисляется?

В чем сущность “метода сил”?

Что такое основная система? Как она выбирается? Возможен ли в данной лабораторной работе другой вариант основной системы?

  Как записывается система канонических уравнений метода сил? Чему равно число этих уравнений?

 Каков геометрический смысл канонического уравнения метода сил?

Что означает коэффициент канонического уравнения ? Каков смысл произведения ?

 Что означает свободный член канонического уравнения ?

Как убедиться, что система работает в упругой области?

Как опытным путем определяют распор в раме?

Как опытным путем определяют горизонтальное перемещение шарнирно-подвижной опоры рамы?

Какие внутренние усилия возникают в сечениях горизонтального участка нагруженной рамы при свободном перемещении подвижной опоры? При ее закреплении?

 Литература: [5] - §§ 39, 40, 43 –46; [6] - § 9.1-9.3; [7] - §§ 62, 65.