Аналитическая геометрия начало

Вычисление площади поверхности вращения.


Площадь поверхности, образованной вращением вокруг оси Ох дуги L кривой y = y(x) (a £ x £ b), выражается интегралом

Который удобно записывать в форме, , где dl- дифференциал длины дуги.

Если кривая задана параметрически или в полярных координатах, то достаточно произвести замену переменной в приведённой формуле, выразив соответствующим образом дифференциал длины дуги

 Пример 1. Вычислить площадь поверхности эллипсоида, образованного вращением эллипса   вокруг оси Ох (а>b).

Решение. Разрешая уравнение эллипса относительно у, для у³0 получим


Отсюда


где величина   есть эксцентриситет эллипса.

В частности, при b®a эксцентриситет e стремится к нулю и


так как при этом эллипс превращается в окружность, то в пределе получаем площадь поверхности шара (сферы):

 Пример. Найти предел

Так как tg5x ~ 5x и sin7x ~ 7x при х ® 0, то, заменив функции эквивалентными бесконечно малыми, получим:

  Пример. Найти предел .

Так как 1 – cosx =  при х®0, то .

  Пример. Найти предел

 Если a и b - бесконечно малые при х®а, причем b - бесконечно малая более высокого порядка, чем a, то g = a + b - бесконечно малая, эквивалентная a. Это можно доказать следующим равенством .

 Тогда говорят, что a - главная часть бесконечно малой функции g.

 Пример. Функция х2 +х – бесконечно малая при х®0, х – главная часть этой функции. Чтобы показать это, запишем a = х2, b = х, тогда

.

Аналитическая геометрия начало

Нахождение значения неопределенного интеграла связано главным образом с нахождением первообразной функции. Для некоторых функций это достаточно сложная задача. Ниже будут рассмотрены способы нахождения неопределенных интегралов для основных классов функций – рациональных, иррациональных, тригонометрических, показательных и др. Таблица основных интегралов. Для удобства значения неопределенных интегралов большинства элементарных функций собраны в специальные таблицы интегралов, которые бывают иногда весьма объемными. В них включены различные наиболее часто встречающиеся комбинации функций. Но большинство представленных в этих таблицах формул являются следствиями друг друга, поэтому ниже приведем таблицу основных интегралов, с помощью которой можно получить значения неопределенных интегралов различных функций.