Аналитическая геометрия начало

 

Вычисление давления, работы и других физических величин

I. Сила давления жидкости Р на площадку S с глубиной погружения h по закону Паскаля равна P=ghS, где g- удельный вес жидкости.

II. Если непрерывная переменная сила X=f(x) действует в направлении оси Ох, то работа силы на отрезке   выражается интегралом 

III. Кинетическая энергия К материальной точки массы m, обладающей скоростью n, выражается формулой

IV. Электрические заряды отталкивают друг друга с силой  где  и - величины  зарядов, r- расстояние между ними.

Замечание. При решении прикладных задач мы будем считать все данные выраженными в одной системе измерений и будем опускать наименования соответствующих величин.

Подпись:  Пример 1. Вычислить силу давления воды на вертикальную треугольную пластинку, имеющую основание b и высоту h, погруженную в воду так, что её вершина лежит на поверхности воды.

Решение. Введём систему координат так, как показано на Рис. 9.1, и рассмотрим горизонтальную полоску, находящуюся на произвольной глубине х и имеющую толщину, равную dx.

Приближённо принимая эту полоску за прямоугольник, находим дифференциал площади dS=MN dx. Из подобия треугольников BMN и ABC имеем MN/b=x/h.

Отсюда MN=bx/h и dS=(bx/h)dx.

Сила давления воды на эту полоску с точностью до бесконечно малых высшего порядка равна dP=x dS (учитывая, что удельный вес воды равен 1). Следовательно, сила давления воды на всю пластинку ABC равна

 

 

Подпись:  Пример 2. Вертикальная плотина имеет форму трапеции, верхнее основание которой равно 70 м, нижнее 50 м, а высота 20 м. Найти силу давления воды на плотину (рис. 9.2).

Решение. Дифференциал площади (dS) заштрихованной на рисунке области приближённо равен dS=MN dx. Учитывая подобие треугольников OML и OAE, находим ML/20=(20-x)/20; отсюда ML=20-x, MN=20-x+50=70-x. Таким образом, dS=MN dx=(70- -x)dx и дифференциал силы давления воды равен

 

Интегрируя по х в пределах от 0 до 20, получим

 

Пример 3. Прямоугольный сосуд наполнен водой и маслом в равных по объему частях, причём масло вдвое легче воды. Показать, что сила давления смеси на боковую стенку уменьшиться на одну пятую, если воду заменить маслом.

Решение. Пусть h- глубина сосуда, l- длина стенки. Введем систему координат так, как показано на рис. 9.3. Так как масло располагается над водой и занимает верхнюю половину сосуда, то сила Подпись:

давления  масла на верхнюю половину стенки равна

 

 

 

Давление на глубине x>h/2 слагается из давления столба масла высотой h/2 и столба высотой x-h/2 и потому

 

Следовательно, сила давления смеси на нижнюю половину стенки равна

Полное давление смеси на стенку равно

Если бы сосуд был наполнен только маслом, то сила давления  на ту же стенку была бы равна

 

Следовательно,

Пример 4. Электрический заряд Е, сосредоточенный в начале координат, отталкивает заряд е из точки (а, 0) в точку (b, 0). Определить работу А силы отталкивания F.

Решение. Дифференциал работы силы на перемещении dx равен

Отсюда

 

При b®¥ работа А стремится к величине eE/a.

Пример 5. Определить работу, необходимую для запуска ракеты весом Р с поверхности Земли вертикально вверх на высоту h.

Решение. Обозначим через F величину силы притяжения ракеты Землёй. Пусть -масса ракеты, -масса Земли. Согласно закону Ньютона 

Где х- расстояние от ракеты до центра Земли. Полагая  получим F(x)=K/, R£x£h+R, R- радиус Земли. При x=R сила F(R) будет весом ракеты Р, т. е.  откуда  и

Таким образом, дифференциал работы есть

 

Интегрируя, получим

 

Предел

 

Равен работе, которую должен совершить двигатель, чтобы полностью освободить ракету от земного притяжения (движение Земли при этом не учитывается).

Пример 6. Какую работу надо затратить, чтобы остановить железный шар радиуса R, вращающийся с угловой скоростью w вокруг своего диаметра?

Решение. Количество необходимой работы равно кинетической энергии шара. Для подсчета этой энергии разобьём шар на концентрические полые цилиндры толщины dx; скорость точек такого цилиндра радиуса х есть wх.

Дифференциал объёма такого цилиндра равен   дифференциал массы dM=gdV, где g- плотность железа, дифференциал кинетической энергии

Отсюда

 

Пример 7. Найти количество тепла, выделяемое переменным синусоидальным током

в течение периода Т в проводнике с сопротивление R.

Решение. Для постоянного тока количество тепла в единицу времени определяется законом Джоуля – Ленца

 

При переменном токе дифференциал количества тепла равен  откуда

В нашем случае

Некоторые замечательные пределы.

Первый замечательный предел. , где P(x) = a0xn + a1xn-1 +…+an, 

Q(x) = b0xm + b1xm-1 +…+bm - многочлены.

Итого:

Второй замечательный предел.

Третий замечательный предел.

 Часто если непосредственное нахождение предела какой – либо функции представляется сложным, то можно путем преобразования функции свести задачу к нахождению замечательных пределов.

 Кроме трех, изложенных выше, пределов можно записать следующие полезные на практике соотношения:

  Пример. Найти предел.

 

Аналитическая геометрия начало

Нахождение значения неопределенного интеграла связано главным образом с нахождением первообразной функции. Для некоторых функций это достаточно сложная задача. Ниже будут рассмотрены способы нахождения неопределенных интегралов для основных классов функций – рациональных, иррациональных, тригонометрических, показательных и др. Таблица основных интегралов. Для удобства значения неопределенных интегралов большинства элементарных функций собраны в специальные таблицы интегралов, которые бывают иногда весьма объемными. В них включены различные наиболее часто встречающиеся комбинации функций. Но большинство представленных в этих таблицах формул являются следствиями друг друга, поэтому ниже приведем таблицу основных интегралов, с помощью которой можно получить значения неопределенных интегралов различных функций.