Аналитическая геометрия начало

1.СИСТЕМА КООРДИНАТ НА ПЛОСКОСТИ

2. Основные приложения метода координат на плоскости

Расстояние между двумя точками

Требуется найти расстояние d между точками А(х11) и В(х22) плоскости Оху.

 Решение: Искомое расстояние d равно длине вектора ,т.е.

Деление отрезка в данном отношении. Требуется разделить отрезок АВ, соединяющий точки А(х11)и B(x2;y2) в заданном отношении l > 0, т.е. найти координаты точки М(х;у) отрезка АВ такой, что  (см. рис. 4).

 Решение: Введем в рассмотрение векторы и . Точка М делит отрезок АВ в отношении l, если

. (1)

Но т.е.  и т.е.  Уравнение (1) принимает вид

Учитывая, что равные векторы имеют равные координа­ты, получаем

 

 

 

 т.е.  (2)

 

 т.е.  (3)

 

Формулы (9.2) и (9.3) называются формулами деления от­резка в данном отношении. В частности, при l=1, т.е. если АМ=МВ, то они примут вид , .  В этом случае точка М(х; у) является серединой отрезка АВ.

Замечание: Если l = 0, то это означает, что точки А и М совпадают, если l < 0, то точка М лежит вне отрезка АВ — говорят, что точка М делит отрезок АВ внешним образом (l¹ -1 , т. к. в противном случае  т. е. AM + MB = 0, т. е. АВ = 0).

Площадь треугольника

Требуется найти площадь треугольника АВС с вершинами А(х11),В(х2; y2), С(х33).

 Решение: Опустим из вершин А, В, С пер­пендикуляры АА1, BB1, CC1 на ось Ох (см. рис. 5). Очевидно, что

 

 

.

 

Поэтому

 

 т.е.

Замечание: Если при вычислении площади треугольника получим S = 0, то это означает, что точки А, В, С лежат на одной прямой, если же получим отрицательное число, то следует взять его модуль.

Комплексные числа.

Понятие о комплексных числах.

 Определение. Комплексным числом z называется выражение , где a и b – действительные числа, i – мнимая единица, которая определяется соотношением:

  При этом число a называется действительной частью числа z (a = Re z), а b- мнимой частью (b = Im z).

 Если a =Re z =0, то число z будет чисто мнимым, если b = Im z = 0, то число z будет действительным.

 Определение. Числа  и называются комплексно – сопряженными.

 Определение. Два комплексных числа  и  называются равными, если соответственно равны их действительные и мнимые части:

  Определение. Комплексное число равно нулю, если соответственно равны нулю действительная и мнимая части.

  Понятие комплексного числа имеет геометрическое истолкование. Множество комплексных чисел является расширением множества действительных чисел за счет включения множества мнимых чисел. Комплексные числа включают в себя все множества чисел, которые изучались ранее. Так натуральные, целые, рациональные, иррациональные, действительные числа являются, вообще говоря, частными случаями комплексных чисел.

 Если любое действительное число может быть геометрически представлено в виде точки на числовой прямой, то комплексное число представляется точкой на плоскости, координатами которой будут соответственно действительная и мнимая части комплексного числа. При этом горизонтальная ось будет являться действительной числовой осью, а вертикальная - мнимой осью.

 


 у

 A(a, b)

 r b

  j

 0 a x

 Таким образом, на оси ОХ располагаются действительные числа, а на оси ОY – чисто мнимые.

 С помощью подобного геометрического представления можно представлять числа в так называемой тригонометрической форме.

 

Аналитическая геометрия начало

Нахождение значения неопределенного интеграла связано главным образом с нахождением первообразной функции. Для некоторых функций это достаточно сложная задача. Ниже будут рассмотрены способы нахождения неопределенных интегралов для основных классов функций – рациональных, иррациональных, тригонометрических, показательных и др. Таблица основных интегралов. Для удобства значения неопределенных интегралов большинства элементарных функций собраны в специальные таблицы интегралов, которые бывают иногда весьма объемными. В них включены различные наиболее часто встречающиеся комбинации функций. Но большинство представленных в этих таблицах формул являются следствиями друг друга, поэтому ниже приведем таблицу основных интегралов, с помощью которой можно получить значения неопределенных интегралов различных функций.