Аналитическая геометрия начало

Общее уравнение линий второго порядка

Уравнения кривых второго порядка с осями симметрии, параллельными координатным осям

Найдем сначала уравнение эллипса с центром в точке , оси симметрии которого параллельны координатным осям Ох и Оу и полуоси соответственно равны а и b. Поместим в центре эллипса   начало новой системы координат , оси которой  и  параллельны соответ­ствующим осям Ох и Оу и одинаково с ними направленны (см. рис.41).

В этой системе координат уравнение Рис.41.

эл­липса имеет вид

Так как , то в старой системе координат 

уравнение эллипса запишется в виде

Аналогично рассуждая, получим уравне­ние гиперболы с центром в точке   и полуосями а и Ь (см. рис. 42):

И, наконец, параболы, изображенные на рисунке 43, имеют соответству­ющие уравнения.

 

 

 

 

 

   

 

 

 

  

 

Уравнение Ac2 + Су2 + 2Dx + 2Еу + F = О

Уравнения эллипса, гиперболы, параболы и уравнение окружности   после преобразований (раскрыть скобки, пе­ренести все члены уравнения в одну сторону, привести подобные члены, ввести новые обозначения для коэффициентов) можно записать с помо­щью единого уравнения вида

  (11.14)

где коэффициенты А и С не равны нулю одновременно.

Возникает вопрос: всякое ли уравнение вида (11.14) определяет одну из кривых (окружность, эллипс, гипербола, парабола) второго порядка?

Ответ дает следующая теорема.

  Теорема 11.2. Уравнение (11.14) всегда определяет: либо окружность (при А=С), либо эллипс (при А • С > 0), либо гиперболу (при А • С < 0), либо параболу (при АС = 0). При этом возможны случаи вырождения: для эллипса (окружности) - в точку или мнимый эллипс (окружность), для гиперболы - в пару пересекающихся прямых, для параболы - в пару параллельных прямых.

 

 

Пример 11.1. Установить вид кривой второго порядка, заданной урав­нением  

Решение: Предложенное уравнение определяет эллипс . Действительно, проделаем следующие преобразования:

  Получилось каноническое уравнение эллипса с центром в  и полуосями  и  .

 

 

  Пример 11.2. Установить вид кривой второго порядка, заданной уравнением х2 + 10х - 2у + 11 = 0.

 Решение: Указанное уравнение определяет параболу (С = 0). Действи­тельно,

.

Получилось каноническое уравнение параболы с вершиной в точке   и

 

  Пример 11.3. Установить вид кривой второго порядка, заданной уравнением.

  Решение: Преобразуем уравнение: 

  Это уравнение определяет две пересекающиеся прямые

Общее уравнение второго порядка

 Рассмотрим теперь общее уравнение второй степени с двумя неизвест­ными:

 Ax2 + 2Вху + Су2 + 2Dx + 2Еу + F == 0. (11.15)

Оно отличается от уравнения (11.14) наличием члена с произведением координат. Можно, путем поворота координатных осей на угол , преобразовать это уравнение, чтобы в нем член с произведением координат отсутствовал.

 Используя формулы поворота осей

выразим старые координаты через новые:

Выберем угол  так, коэффициент при  обратился в нуль, т.е. чтобы выполнялось равенство

т.е.

   (11.16)

т.е.

Отсюда

   (11.17)

 

  Таким образом, при повороте осей на угол  , удовлетворяющий условию (11.17), уравнению (11.15) сводится к уравнению (11.14).

 Вывод: общее уравнение второго порядка (11.15)определяет на плоскости (если не считать случаев вырождения и распадения) следующие кривые: окружность, эллипс, гиперболу, параболу.

Число е.

Рассмотрим последовательность {xn} = .

Если последовательность {xn} монотонная и ограниченная, то она имеет конечный предел.

По формуле бинома Ньютона:

или, что то же самое

Покажем, что последовательность {xn} – возрастающая. Действительно, запишем выражение xn+1 и сравним его с выражением xn:

  Каждое слагаемое в выражении xn+1 больше соответствующего значения xn, и, кроме того, у xn+1 добавляется еще одно положительное слагаемое. Таким образом, последовательность {xn} возрастающая.

 Докажем теперь, что при любом n ее члены не превосходят трех: xn < 3.

Итак, последовательность - монотонно возрастающая и ограниченная сверху, т.е. имеет конечный предел. Этот предел принято обозначать буквой е.

Из неравенства  следует, что е £ 3. Отбрасывая в равенстве для {xn} все члены, начиная с четвертого, имеем:

переходя к пределу, получаем

  Таким образом, число е заключено между числами 2,5 и 3. Если взять большее количество членов ряда, то можно получить более точную оценку значения числа е.

Можно показать, что число е иррациональное и его значение равно 2,71828…

Аналогично можно показать, что , расширив требования к х до любого действительного числа:

Предположим: 

Найдем  

Число е является основанием натурального логарифма.

Выше представлен график функции y = lnx.

 

Аналитическая геометрия начало

Нахождение значения неопределенного интеграла связано главным образом с нахождением первообразной функции. Для некоторых функций это достаточно сложная задача. Ниже будут рассмотрены способы нахождения неопределенных интегралов для основных классов функций – рациональных, иррациональных, тригонометрических, показательных и др. Таблица основных интегралов. Для удобства значения неопределенных интегралов большинства элементарных функций собраны в специальные таблицы интегралов, которые бывают иногда весьма объемными. В них включены различные наиболее часто встречающиеся комбинации функций. Но большинство представленных в этих таблицах формул являются следствиями друг друга, поэтому ниже приведем таблицу основных интегралов, с помощью которой можно получить значения неопределенных интегралов различных функций.