Математика курс лекций, примеры решения задач
Строймех
Сопромат
Математика

Театр

Карта

Темы, излагаемые в учебнике -- это те темы, которые традиционно проходятся по программе математики в первом семестре технических университетов. Это два больших раздела, которые можно назвать "Математический анализ" и "Алгебра и аналитическая геометрия". Тема "Математический анализ" охватывает главы с 1 по 9, а главы с 10 и до конца учебника -- это "Алгебра и аналитическая геометрия". Значение этих глав для понимания основных математических понятий и утверждений, которые проходятся в первом семестре, -- разное. Поэтому мы дадим сейчас обзор учебника по главам, охарактеризовав их значимость для понимания курса в целом и для дальнейшего изучения математики в следующих семестрах.

  1. Функции и их графики

    Основные обозначения и определения

    Первый способ задания функции: табличный

    Второй способ задания функции: с помощью формулы

    Обзор некоторых элементарных функций

    Третий способ задания функции: указание процедуры вычисления

    Композиция функций

    Обратная функция

    Упражнения

    • ТЕОРЕМА (о достаточном условии выпуклости функции на
      промежутке)

      Для всякой дважды дифференцируемой на  функции справедливы утверждения:

      ,

      а также

      .

      Доказательство. Пусть для определенности  на . Разложим  по формуле Тейлора при  в произвольной точке , :

      ,

      здесь  лежит между  и , т.е.  и . Тогда  для всяких значений  и  из интервала , т.е. по определению  – выпуклая вниз (сокр. ) на .

      Аналогично: для  – выпуклая вверх на , если  на .

      Подробно все вопросы исследования функции одной переменной рассмотрены в [6] при разборе контрольно-обучающей работы "Производная и ее приложения".


  2. Пределы

    Пределы при разных условиях. Некоторые частные случаи

    Общее определение предела

    Замена переменного и преобразование базы при такой замене

    Бесконечно малые и локально ограниченные величины и их свойства

    Общие свойства пределов

    Первый и второй замечательные пределы

    Бесконечно большие величины и бесконечные пределы

    Использование непрерывности функций при вычислении пределов

    Сравнение бесконечно малых

    Таблица эквивалентных бесконечно малых при $ x\to0$

    Упражнения на вычисление пределов

    • НЕОПРЕДЕЛЕННЫЙ ИНТЕГРАЛ.

      ПРИЕМЫ И МЕТОДЫ ИНТЕГРИРОВАНИЯ

      ПЕРВООБРАЗНАЯ ФУНКЦИИ, ЕЕ СВОЙСТВА.

      НЕОПРЕДЕЛЕННЫЙ ИНТЕГРАЛ, ЕГО СВОЙСТВА

      Ранее рассматривалось понятие производной функции, ее
      геометрический смысл, свойства, правила нахождения. Во многих технических задачах требуется решение обратной задачи: отыскание функции по заданной ее производной функции. Например,
      задача об определении закона прямолинейного движения  материальной точки по заданной ее скорости .

      Решение сформулированной задачи основано на понятии
      первообразной функции.

      ОПРЕДЕЛЕНИЕ. Функция , определенная на промежутке ,
      называется первообразной функцией (или просто первообразной) для функции  на , если в любой точке этого промежутка функция  дифференцируема и имеет производную , равную .

  3. Непрерывность функций и точки разрыва

    Определение непрерывности функции

    Определение точек разрыва

    Свойства функций, непрерывных в точке

    Непрерывность функции на интервале и на отрезке

    Равномерная непрерывность

    Непрерывность обратной функции

    Гиперболические функции и ареа-функции

    Примеры и упражнения

    • ПРИМЕР. Функция  является первообразной для  на , так как для любого  имеем .

      Для одной и той же функции существует бесконечное множество первообразных. Например, для  первообразными на  являются также функции ,  и вообще , где  – произвольное число, поскольку  для любого .

      Аналогичные рассуждения верны и для первообразной произвольной функции .

      Свойства первообразных описываются легко проверяемыми теоремами.

      ТЕОРЕМА 1. Если  – первообразная для функции  на , то функция , где  – произвольное число, также является первообразной для  на .

      ТЕОРЕМА 2. Если  и  – произвольные первообразные для  на , то значение разности этих первообразных в каждой точке есть одно и то же число, т.е.  на , где  – некоторое число.

      Теоремы 1 и 2 показывают, что если функция имеет первообразную , то множество функций , где  и , образует множество всех первообразных для функции   на .

      Для  множество всех первообразных есть множество функций , .

      ОПРЕДЕЛЕНИЕ. Множество всех первообразных для функции  на промежутке  называется неопределенным интегралом
      функции  на  и обозначается символом .

      Выражение  называется подынтегральным выражением,  – подынтегральной функцией,  – переменной интегрирования,  – произвольной постоянной. Процедуру отыскания
      неопределенного интеграла функции называют интегрированием функции (будем говорить, что "интеграл вычисляется").

      Если  – какая-либо первообразная функции  на , то в силу определения неопределенного интеграла и свойств первообразных имеем , , .

      Для краткости это равенство записывается обычно в виде

      .

     

  4. Производные и дифференциалы

    Мгновенная скорость при прямолинейном движении

    Касательная к кривой на плоскости

    Производная

    Свойства производных

    Производные некоторых элементарных функций

    Дифференциал

    Производная композиции

    Инвариантность дифференциала

    Производная обратной функции

    Производные некоторых элементарных функций (продолжение)

    Сводка основных результатов о производных

    Производные высших порядков

    Дифференциалы высших порядков и их неинвариантность

    Производные функции, заданной параметрически

    Производная функции, заданной неявно

    Приближённое вычисление производных

    Примеры и упражнения

    • ПРИМЕР. Проверить формулу ,  или .

      РЕШЕНИЕ. Используя определение абсолютной величины ,
      можем записать 

      На интервале  имеем , поэтому для функции  на  функция  является первообразной.

      На интервале  имеем , поэтому для функции  на  первообразная имеет вид .


Свойства дифференцируемых функций

Четыре теоремы о дифференцируемых функциях

Правило Лопиталя

Сравнение бесконечно больших величин

Упражнения на применение правила Лопиталя


  1. Формула Тейлора

    Многочлен Тейлора

    Остаток в формуле Тейлора и его оценка

    Формула Тейлора для некоторых элементарных функций

    Оценки ошибок в формулах приближённого дифференцирования

    Упражнения


Исследование функций и построение графиков

Асимптоты графика функции

Возрастание и убывание функции

Экстремум функции и необходимое условие экстремума

Достаточные условия локального экстремума

Выпуклость функции

Общая схема исследования функции и построения её графика

Примеры исследования функций и построения графиков

Упражнения и задачи

Кривизна плоской кривой

Кривизна графика функции

Вершины кривых

Радиус кривизны

Упражнения

  1. Векторная алгебра

    Определение вектора

    Операции над векторами

    Разложение вектора по базису

    Линейная зависимость векторов

    Система координат и координаты вектора

    Проекции вектора

    Скалярное произведение

    Векторное произведение

    Выражение векторного произведения через координаты сомножителей

    Смешанное произведение

    Нахождение координат вектора в произвольном базисе


  2. Прямые линии и плоскости

    Уравнение поверхности

    Уравнение плоскости

    Изображение плоскости

    Все коэффициенты и свободный член в уравнении отличны от нуля

    Коэффициенты при неизвестных отличны от нуля, а свободный член равен нулю

    Один из коэффициентов при неизвестных равен нулю

    Два коэффициента при переменных равны нулю

    Угол между плоскостями

    Расстояние от точки до плоскости

    Прямая на плоскости

    Прямая в пространстве

    Основные задачи на прямую и плоскость

  3. Кривые второго порядка

    Окружность

    Эллипс

    Гипербола

    Парабола

    Параллельный перенос системы координат

  4. Поверхности второго порядка

    Сфера

    Эллипсоид

    Гиперболоиды

    Конус

    Параболоиды

    Цилиндры

    Параллельный перенос системы координат

  5. Матрицы

    Определение, обозначения и типы матриц

    Сложение матриц и умножение на число

    Символ суммирования

    Умножение матриц

    Транспонирование матрицы

    Определители

    Обратная матрица

    Ранг матрицы

  6. Системы линейных уравнений

    Правило Крамера

    Существование решения системы линейных уравнений общего вида

    Однородная система уравнений

    Структура решений неоднородной системы линейных уравнений

    Алгоритм нахождения решений произвольной системы линейных уравнений (метод Гаусса)

Алгебраические структуры

Группы

Кольца

Поля

Комплексные числа

Построение поля комплексных чисел

Решение квадратных уравнений с вещественными коэффициентами

Изображение комплексных чисел. Модуль и аргумент комплексного числа

Тригонометрическая форма комплексного числа

Показательная форма комплексного числа

Извлечение корня из комплексного числа

Корни многочленов

Многомерные пространства

    Линейные пространства

    Евклидово пространство

    Аффинное $ n$ -мерное пространство

Линейные преобразования

    Определение и примеры

    Матрица линейного преобразования

    Изменение матрицы линейного преобразования при изменении базиса

    Собственные числа и собственные векторы

    Нахождение собственных чисел и собственных векторов матриц

    Матрица линейного преобразования в базисе из собственных векторов

    Приведение уравнения второго порядка к каноническому виду

Библиографический список