Высшая математика Функции и их графики

Строймех
Сопромат
Математика

Театр

Карта

Первая глава носит вводный характер и предназначена в основном для напоминания и повторения понятий, изученных в школе. Однако важное значение имеет вводимое здесь понятие произвольной функции (не обязательно числовой функции числового переменного).

Если у Вас затруднения со школьным материалом, касающимся элементарных функций и их свойств, непременно прочитайте вторую половину первой главы, где проводится достаточно подробный разбор тех функций, которые будут использоваться на протяжении всего изучения и применения математики. Эти функции и их свойства непременно надо хорошо усвоить, чтобы не испытывать далее затруднений в тех мелочах, которые далее часто будут предполагаться очевидными.

Основные обозначения и определения

Первый способ задания функции: табличный

Второй способ задания функции: с помощью формулы

Обзор некоторых элементарных функций

ТЕОРЕМА КОШИ (об отношении приращений двух функций)

Если 1)  и   непрерывны на сегменте ;

2)  и  дифференцируемы внутри сегмента, т.е. на интервале ,

то существует точка  такая, что выполняется соотношение

.

Замечание. Пусть , . Тогда теорема устанавливает существование точки , , такой, что  или , т.е. отношение приращений двух функций в одной и той же точке совпадает с
отношением производных этих функций в некоторой промежуточной точке.

Доказательство. Рассмотрим функцию

;

ее свойства:

 – непрерывна на ; по теореме Вейерштрасса множество ее значений на  – ограниченное множество;

 – дифференцируемая на  функция; по теореме II Вейерштрасса значения  и  достигаются в точках сегмента .

Поскольку , то хотя бы одно из этих значений достигается внутри сегмента. По теореме Ферма найдется точка , в которой .

Итак, указали  так, что .

Третий способ задания функции: указание процедуры вычисления

Композиция функций

Обратная функция

Рассмотрим теперь поподробнее понятие обратной функции, введённое в начале главы.

Если $ f:A\to B$ -- взаимно-однозначное отображение (биекция), то для любого $ y\in B$ однозначно определен такой элемент $ x\in A$, что $ f(x)=y$. Тем самым однозначно определено соответствие $ y\mapsto x$, называемое обратной функцией по отношению к функции $ f$. Обратная функция для $ f$ обозначается $ f^{-1}$. Таким образом,

 

$\displaystyle f^{-1}:B\to A,\quad f^{-1}(y)=x\quad\Longleftrightarrow \quad f(x)=y,\ x\in A, y\in B.$

 

Очевидно, что согласно определению мы имеем тождество $ f^{-1}(f(x))=x$, то есть композиция $ f^{-1}\circ f$ -- это тождественное отображение $ \mathop{\mathrm{id}}\nolimits _A:A\to A$, $ \mathop{\mathrm{id}}\nolimits _A(x)=x$ для любого $ x\in A$. Точно так же $ f(f^{-1}(y))=y$, то есть $ f\circ f^{-1}=\mathop{\mathrm{id}}\nolimits _B$, $ \mathop{\mathrm{id}}\nolimits _B:B\to B$, $ \mathop{\mathrm{id}}\nolimits _B(y)=y$, если $ y\in B$.

Последнее утверждение означает, что функция, обратная к $ f^{-1}$, равна $ f$: $ (f^{-1})^{-1}=f$, то есть что функции $ f$ и $ f^{-1}$ -- это две взаимно обратные функции.

Упражнения

ТЕОРЕМА ЛАГРАНЖА*.

Если 1)  – непрерывная на  функция,

 2)  – дифференцируемая на ,

то .

Утверждение следует из теоремы Коши при .

ИЛЛЮСТРАТИВНЫЙ ПРИМЕР приведен на рисунке. Для графика непрерывной на  и дифференцируемой на  функции найдется точка  такая, что в соответствующей точке  на  касательная параллельна хорде , поскольку . Здесь  или .

Примеры на существенность условий теоремы и контрпример рекомендуем составить самостоятельно.

ТЕОРЕМА РОЛЛЯ*

Если 1)  – непрерывная на  функция,

 2)  – дифференцируемая на  функция,

 3) , то существует .

Утверждение следует из равенства теоремы Лагранжа.

При  теорема сформулируется в виде:

для "хорошей" функции между любыми ее нулями существует хотя бы один нуль ее производной.

Предлагаем самостоятельно построить иллюстративный
пример, контрпримеры и примеры на существенность условий.