Высшая математика Функции и их графики

Машиностроительное черчение
Единая система конструкторской
документации
Машиностроительные построения
Инженерная графика
Сборочный чертеж
Начертательная геометрия
Геометрические основы
построения чертежа
Конспект лекций по начертательной
геометрии
История искусства
Стили в искусстве Готика
Русский балетный театр
Русское изобразительное искусство
ТКМ
Материаловедение
Основы теории сплавов
Теория конструктивных материалов
Сопромат
Сопративление метериалов
Лабораторные работы
Задачи строительной механики
Лекции физика
Физика
Электричество
Магнетизм
Оптика
Электромагнетизм
Молекулярная физика
Лекции МАИ
Лекции МАИ часть 2
Диэлектрики
Квантовая механика
Физические законы механики
Электромагнитное взаимодействия
Атомные станции
Атомная энергетика
Экология энергетики
Атомная и ядерная физика
Теплотехника
Термодинамика
Билеты к экзамену по физике
Задачи физика электротехника
Решение задач по ядерной физике
Электростатика
Геометрическая оптика
Тепловое излучение
Основы теории сплавов
Теория относительности
Физические основы механики
Законы идеальных газов
Электростатика
Основы электротехники
Постоянный ток
Электромагнетизм
Оптика
Законы теплового излучения
Ядерная физика
Строение атома и молекул
Задачи математика
Математика
1 семестр
2 семестр
3 семестр
4 семестр
Интегралы
Лекции по высшей математике
Вычисление площадей в
декартовых координатах
Аналитическая геометрия
 
Информатика
Восстановление сети после аварии
Основные понятия и категории
информатики
Сетевые операционные системы

 

Первая глава носит вводный характер и предназначена в основном для напоминания и повторения понятий, изученных в школе. Однако важное значение имеет вводимое здесь понятие произвольной функции (не обязательно числовой функции числового переменного).

Если у Вас затруднения со школьным материалом, касающимся элементарных функций и их свойств, непременно прочитайте вторую половину первой главы, где проводится достаточно подробный разбор тех функций, которые будут использоваться на протяжении всего изучения и применения математики. Эти функции и их свойства непременно надо хорошо усвоить, чтобы не испытывать далее затруднений в тех мелочах, которые далее часто будут предполагаться очевидными.

Основные обозначения и определения

Первый способ задания функции: табличный

Второй способ задания функции: с помощью формулы

Обзор некоторых элементарных функций

ТЕОРЕМА КОШИ (об отношении приращений двух функций)

Если 1)   и  непрерывны на сегменте ;

2)   и  дифференцируемы внутри сегмента, т.е. на интервале ,

то существует точка  такая, что выполняется соотношение

.

Замечание. Пусть , . Тогда теорема устанавливает существование точки , , такой, что  или , т.е. отношение приращений двух функций в одной и той же точке совпадает с
отношением производных этих функций в некоторой промежуточной точке.

Доказательство. Рассмотрим функцию

;

ее свойства:

 – непрерывна на ; по теореме Вейерштрасса множество ее значений на  – ограниченное множество;

  – дифференцируемая на  функция; по теореме II Вейерштрасса значения  и  достигаются в точках сегмента .

Поскольку , то хотя бы одно из этих значений достигается внутри сегмента. По теореме Ферма найдется точка , в которой .

Итак, указали  так, что .

Третий способ задания функции: указание процедуры вычисления

Композиция функций

Обратная функция

Рассмотрим теперь поподробнее понятие обратной функции, введённое в начале главы.

Если $ f:A\to B$ -- взаимно-однозначное отображение (биекция), то для любого $ y\in B$ однозначно определен такой элемент $ x\in A$, что $ f(x)=y$. Тем самым однозначно определено соответствие $ y\mapsto x$, называемое обратной функцией по отношению к функции $ f$. Обратная функция для $ f$ обозначается $ f^{-1}$. Таким образом,

 

$\displaystyle f^{-1}:B\to A,\quad f^{-1}(y)=x\quad\Longleftrightarrow \quad f(x)=y,\ x\in A, y\in B.$

 

Очевидно, что согласно определению мы имеем тождество $ f^{-1}(f(x))=x$, то есть композиция $ f^{-1}\circ f$ -- это тождественное отображение $ \mathop{\mathrm{id}}\nolimits _A:A\to A$, $ \mathop{\mathrm{id}}\nolimits _A(x)=x$ для любого $ x\in A$. Точно так же $ f(f^{-1}(y))=y$, то есть $ f\circ f^{-1}=\mathop{\mathrm{id}}\nolimits _B$, $ \mathop{\mathrm{id}}\nolimits _B:B\to B$, $ \mathop{\mathrm{id}}\nolimits _B(y)=y$, если $ y\in B$.

Последнее утверждение означает, что функция, обратная к $ f^{-1}$, равна $ f$: $ (f^{-1})^{-1}=f$, то есть что функции $ f$ и $ f^{-1}$ -- это две взаимно обратные функции.

Упражнения

ТЕОРЕМА ЛАГРАНЖА*.

Если 1)   – непрерывная на  функция,

  2)  – дифференцируемая на ,

то  .

Утверждение следует из теоремы Коши при .

ИЛЛЮСТРАТИВНЫЙ ПРИМЕР приведен на рисунке. Для графика непрерывной на  и дифференцируемой на  функции найдется точка  такая, что в соответствующей точке  на  касательная параллельна хорде , поскольку . Здесь  или .

Примеры на существенность условий теоремы и контрпример рекомендуем составить самостоятельно.

ТЕОРЕМА РОЛЛЯ*

Если 1)   – непрерывная на  функция,

  2)  – дифференцируемая на   функция,

 3) , то существует .

Утверждение следует из равенства теоремы Лагранжа.

При   теорема сформулируется в виде:

для "хорошей" функции между любыми ее нулями существует хотя бы один нуль ее производной.

Предлагаем самостоятельно построить иллюстративный
пример, контрпримеры и примеры на существенность условий.