Кривые и поверхности второго порядка

Строймех
Сопромат
Математика

Театр

Карта

Кривые второго порядка

Окружность

Эллипс

Гипербола

Парабола

Параллельный перенос системы координат

Интегрирование тригонометрических функций вида

1. Одно из чисел  или  является положительным нечетным числом. Пусть, например,  – произвольное, , где . Тогда для интеграла  отделим множитель  в подынтегральном выражении и подведем под дифференциал . Оставшуюся четную степень  выразим через , используя формулу .
В результате получаем

,

где  – произвольное, а  – целое неотрицательное число.
Интеграл  оказывается суммой интегралов, каждый из которых вычисляется по формуле 1 таблицы.

ПРИМЕР 1. Вычислить .

РЕШЕНИЕ. Здесь ,  – нечетное, положительное число.

Отделим  и подведем под дифференциал, а  представим в виде . Тогда имеем

.

Аналогично вычисляются интегралы вида , где ,  – любое число.

ПРИМЕР 2. Вычислить .

РЕШЕНИЕ. Здесь  – нечетное, положительное число, .

Отделяя множитель  и подведя его под знак дифференциала , получим

.

2. Пусть  и   – четные числа.

Если ,   и , , т.е.  и  – неотрицательные четные числа, то рекомендуется последовательно понижать показатели степеней функций  и  до тех пор, пока они не станут нечетными или нулевыми, используем формулы , , .

Поверхности второго порядка

    Сфера

    Эллипсоид

    Гиперболоиды

    Конус

    Параболоиды

    Цилиндры

    Параллельный перенос системы координат

    ПРИМЕР 3. Вычислить .

    РЕШЕНИЕ. Здесь ,  – четные положительные числа. Используя рекомендации, получаем

    .

    Если хотя бы один из показателей  или  является отрицательным четным числом, то рекомендуется, используя формулу "тригонометрической единицы" , преобразовать подынтегральное выражение к сумме, содержащей произведение степени функции  (или ) на дифференциал этой функции.

    ПРИМЕР 4. Вычислить .

    РЕШЕНИЕ. Умножим числитель дроби подынтегрального выражения на   с тем, чтобы попытаться "погасить избыток"
    четных степеней   в знаменателе. Получаем

    .

    В каждом из полученных интегралов проведем процедуру "погашения избытка" четных степеней в знаменателе еще раз; тогда получим

    .

    Здесь два раза последовательно умножали числители интегралов на "тригонометрическую единицу". Можно сразу "погасить избыток" степеней в знаменателе () умножением числителя на ; можно провести замену переменной .