Кривые и поверхности второго порядка

Машиностроительное черчение
Единая система конструкторской
документации
Машиностроительные построения
Инженерная графика
Сборочный чертеж
Начертательная геометрия
Геометрические основы
построения чертежа
Конспект лекций по начертательной
геометрии
История искусства
Стили в искусстве Готика
Русский балетный театр
Русское изобразительное искусство
ТКМ
Материаловедение
Основы теории сплавов
Теория конструктивных материалов
Сопромат
Сопративление метериалов
Лабораторные работы
Задачи строительной механики
Лекции физика
Физика
Электричество
Магнетизм
Оптика
Электромагнетизм
Молекулярная физика
Лекции МАИ
Лекции МАИ часть 2
Диэлектрики
Квантовая механика
Физические законы механики
Электромагнитное взаимодействия
Атомные станции
Атомная энергетика
Экология энергетики
Атомная и ядерная физика
Теплотехника
Термодинамика
Билеты к экзамену по физике
Задачи физика электротехника
Решение задач по ядерной физике
Электростатика
Геометрическая оптика
Тепловое излучение
Основы теории сплавов
Теория относительности
Физические основы механики
Законы идеальных газов
Электростатика
Основы электротехники
Постоянный ток
Электромагнетизм
Оптика
Законы теплового излучения
Ядерная физика
Строение атома и молекул
Задачи математика
Математика
1 семестр
2 семестр
3 семестр
4 семестр
Интегралы
Лекции по высшей математике
Вычисление площадей в
декартовых координатах
Аналитическая геометрия
 
Информатика
Восстановление сети после аварии
Основные понятия и категории
информатики
Сетевые операционные системы

 

Кривые второго порядка

Окружность

Эллипс

Гипербола

Парабола

Параллельный перенос системы координат

Интегрирование тригонометрических функций вида

1. Одно из чисел  или  является положительным нечетным числом. Пусть, например,  – произвольное, , где . Тогда для интеграла  отделим множитель  в подынтегральном выражении и подведем под дифференциал . Оставшуюся четную степень  выразим через , используя формулу .
В результате получаем

,

где  – произвольное, а   – целое неотрицательное число.
Интеграл   оказывается суммой интегралов, каждый из которых вычисляется по формуле 1 таблицы.

ПРИМЕР 1. Вычислить .

РЕШЕНИЕ. Здесь ,  – нечетное, положительное число.

Отделим   и подведем под дифференциал, а  представим в виде . Тогда имеем

.

Аналогично вычисляются интегралы вида , где ,  – любое число.

ПРИМЕР 2. Вычислить .

РЕШЕНИЕ. Здесь  – нечетное, положительное число, .

Отделяя множитель  и подведя его под знак дифференциала , получим

.

2. Пусть  и   – четные числа.

Если ,  и , , т.е.  и  – неотрицательные четные числа, то рекомендуется последовательно понижать показатели степеней функций  и  до тех пор, пока они не станут нечетными или нулевыми, используем формулы , , .

Поверхности второго порядка

    Сфера

    Эллипсоид

    Гиперболоиды

    Конус

    Параболоиды

    Цилиндры

    Параллельный перенос системы координат

    ПРИМЕР 3. Вычислить .

    РЕШЕНИЕ. Здесь ,  – четные положительные числа. Используя рекомендации, получаем

    .

    Если хотя бы один из показателей  или  является отрицательным четным числом, то рекомендуется, используя формулу "тригонометрической единицы" , преобразовать подынтегральное выражение к сумме, содержащей произведение степени функции  (или ) на дифференциал этой функции.

    ПРИМЕР 4. Вычислить .

    РЕШЕНИЕ. Умножим числитель дроби подынтегрального выражения на  с тем, чтобы попытаться "погасить избыток"
    четных степеней   в знаменателе. Получаем

    .

    В каждом из полученных интегралов проведем процедуру "погашения избытка" четных степеней в знаменателе еще раз; тогда получим

    .

    Здесь два раза последовательно умножали числители интегралов на "тригонометрическую единицу". Можно сразу "погасить избыток" степеней в знаменателе () умножением числителя на ; можно провести замену переменной .