Системы линейных уравнений, Линейные пространства и преобразования

Строймех
Сопромат
Математика

Театр

Карта

Системы линейных уравнений

    Правило Крамера

    Существование решения системы линейных уравнений общего вида

    Однородная система уравнений

    Структура решений неоднородной системы линейных уравнений

    Алгоритм нахождения решений произвольной системы линейных уравнений (метод Гаусса)

    ПРИМЕР 4. Вычислить .

    РЕШЕНИЕ.

    .

    4. Интегрирование по частям иногда эффективно для вычисления интегралов от тригонометрических функций, в частности, для , в случае, когда один из показателей – нечетное
    отрицательное целое число.

    ПРИМЕР. Вычислить .

    РЕШЕНИЕ. Множитель  выбираем так, чтобы в интеграле  степень функции в знаменателе уменьшилась. Полагая , имеем

     

    .

    5. Иногда формула (*) позволяет искомый интеграл выразить через некоторые функции и этот же интеграл. Полученное равенство является уравнением относительно искомого интеграла. Решив это уравнение, вычислим интеграл. Интегралы такого типа называют возвратными.

    ПРИМЕР 1. Вычислить .

    РЕШЕНИЕ.

    .

    Получили уравнение для значения . Используя табличный
    интеграл 10, окончательно имеем .

    ПРИМЕР 2. Вычислить , применяя интегрирование по частям,  – число, .

    РЕШЕНИЕ. Полагаем , . Тогда , . Применяя формулу интегрирования по частям, получаем  (см. формулу 15 таблицы)

    .

    Из уравнения  находим интеграл

    ,

    который в силу его распространенности можно отнести к табличным.

    Интегралы вида  и  вычисляются
    аналогично, но после двукратного интегрирования по частям

Алгебраические структуры

Многомерные пространства

Линейные преобразования

ПРИМЕР 3. Вычислить .

РЕШЕНИЕ.

.

Получим уравнение ,
из которого находим искомый интеграл

.

Аналогично вычисляется интеграл

(рекомендуем провести подробные вычисления).

ПРИМЕР 4. Вычислить интеграл , используя ранее
полученную формулу.

РЕШЕНИЕ. Здесь , . Получаем

.

Понятие о РЕКУРРЕНТНОМ выражении для интеграла покажем на примере вычисления интеграла от тригонометрической функции.

ПРИМЕР. Вычислить интеграл  до конца при общем значении  громоздко. Поэтому обычно  выражают через , ,  , ; получают рекуррентное соотношение для .

.

Разрешая относительно  полученное равенство, имеем соотношение , , пользуясь которым можно вычислять (последовательно)  при всяком , начиная с .

Например, ;  и т.д.