Высшая математика Пределы

Строймех
Сопромат
Математика

Театр

Карта

Вторая глава имеет чрезвычайно важный для всего дальнейшего смысл. Здесь мы вводим и подробно разбираем понятие предела. На этом понятии основан весь современный анализ. Поэтому понятие предела нужно понять и прочувствовать, решая примеры, так чтобы в дальнейшем ссылки на свойства пределов и на вычисление конкретных пределов не вызывали необходимости всё вновь и вновь начинать читать учебник с начала.

Понятие предела мы разбираем не только в частных случаях пределов числовых функций числового аргумента, но и в общем случае, давая определение предела произвольной функции по произвольной базе. Это понятие, понадобится, в частности, при изучении во втором семестре определённых интегралов.

Пределы при разных условиях. Некоторые частные случаи

Общее определение предела

Замена переменного и преобразование базы при такой замене

Бесконечно малые и локально ограниченные величины и их свойства

Общие свойства пределов

Первый и второй замечательные пределы

ПРИМЕР. Вычислить производную функции  на ОДЗ.

РЕШЕНИЕ. Можно дифференцировать последовательно: сначала логарифмированную функцию, затем по формулам производной дроби и произведения. На проще сначала выражение прологарифмировать, а затем уже дифференцировать. Получим

 и т.д.

Тригонометрические и обратные тригонометрические функции

,  – любое.

; здесь используются свойства непрерывности функции  на , первый замечательный предел и теорема о пределе произведения. Итак, получим ,  – любое; формальная запись

.

Для ,  обратная функция  и тождество , . Отсюда имеем  или , знак выбираем, исходя из характера монотонности обратной функции. Итак, .

Для сложной функции  в сокращенной записи
имеем формулу

.

,  – любое.

Поскольку , то  . Итак, имеем , а также

.

Для функций  и , , справедливо тождество

.

Поэтому .

Для сложной функции запишем

.

, .

, т.е.   и

.

Для ,  – любое, , обратная функция , поэтому имеем .

Итак,  и

.

.

,

т.е.  и

.

Дифференцируя тождество ,  – любое,
получаем , записываем

.

 

Бесконечно большие величины и бесконечные пределы

Использование непрерывности функций при вычислении пределов

Сравнение бесконечно малых

Таблица эквивалентных бесконечно малых при

Как показывает приведённый выше пример 2.36, пределы отношения бесконечно малых можно упрощать, откидывая бесконечно малые слагаемые большего порядка и заменяя множители в числителе и знаменателе на эквивалентные бесконечно малые. Для того, чтобы этот способ вычисления пределов (точнее, раскрытия неопределённостей вида $ \left[\frac{0}{0}\right]$) можно было применять к возможно большему числу примеров, мы должны иметь достаточно большой запас известных пар эквивалентных бесконечно малых величин. Для наиболее употребительной базы $ x\to0$ создадим такой запас в виде таблицы "стандартных" эквивалентных бесконечно малых.

Поскольку в этой таблице мы всегда будем рассматривать базу $ x\to0$, для простоты записи обозначение этой базы будем пропускать и писать знак $ \sim$ вместо $ \mathrel{\mathop{\sim}\limits_{x\to0}}$.

1) $ \sin x\sim x$. Эту формулу мы уже доказали и использовали в примерах. Эквивалентность $ \sin x$ и $ x$ при $ x\to0$ означает в точности, что первый замечательный предел равен 1.

2) $ \arcsin x\sim x$. Эта эквивалентность тоже была доказана выше в одном из примеров.

3) $ \mathop{\rm tg}\nolimits x\sim x$. Докажем эту эквивалентность:

 

$\displaystyle \lim_{x\to0}\dfrac{\mathop{\rm tg}\nolimits x}{x}=
\lim_{x\to0}\...
...lim\limits_{x\to0}\dfrac{\sin x}{x}}{\lim\limits_{x\to0}\cos x}=\dfrac{1}{1}=1.$

 

4) $ \mathop{\rm arctg}\nolimits x\sim x$. Докажите это в качестве упражнения, сделав замену $ z=\mathop{\rm arctg}\nolimits x$ и применив предыдущую табличную формулу.

Упражнения на вычисление пределов

ОСНОВНЫЕ ТЕОРЕМЫ АНАЛИЗА

ТЕОРЕМА ФЕРМА*. Если 1)  – непрерывна на ,

 – дифференцируема при всяком  из , кроме возможно , ,

 или ,

то  или   не существует.

Обратное утверждение не верно.

Контрпримеры: а) , но функция  – строго возрастающая на  функция; в точке  не достигает ни наибольшего ни наименьшего значений.

б)  – строго возрастающая на   функция;  и при  не существует; в точке  не достигает ни наибольшего ни наименьшего значений.

ИЛЛЮСТРАТИВНЫЙ ПРИМЕР приведем, используя геометрическое задание функции; на рисунке  удовлетворяет условиям теоремы, причем   и  и .

Примеры на существенность условий теоремы рекомендуем провести самостоятельно.

Доказательство. Рассмотрим дифференцируемую в точке  функцию, т.е. для  существует , причем  (произвольно!) Для определенности предположим, что . Тогда для  имеем ; для  имеем . Переходя к пределу при произвольном стремлении , получаем одновременно  и , что возможно лишь при .

Снять проститутку в московской области
Официальный сайт Полаир;керамическая плитка для ванной комнаты заказать в каталоге