Высшая математика Непрерывность функций и точки разрыва

Строймех
Сопромат
Математика

Театр

Карта

Третья глава посвящена изучению понятия непрерывности и точек разрыва числовых функций. Здесь изучаются свойства непрерывных функций, в том числе связанные с достаточно сложным понятием равномерной непрерывности. Многие утверждения этой главы являются базовыми для различных приложений, например, связанных с поиском корней уравнений и экстремумов функций.

Если у Вас большие трудности со временем и Вы наглядно представляете себе, что такое непрерывная функция, то поначалу вы можете бегло ознакомиться с этой главой, возвращаясь к ней по мере надобности в дальнейшем, по мере появления ссылок на утверждения этой главы.

Определение непрерывности функции

Определение точек разрыва

Свойства функций, непрерывных в точке

Непрерывность функции на интервале и на отрезке

ПРАВИЛО ЛОПИТАЛЯ**

Утверждение Если 1)  и  непрерывные и дифференцируемые на  функции;  на  ( – конечное число, или );

2) ;

, то ,

т.е. раскрывается неопределенность вида  при  (слева); предел отношения функции заменяется пределом отношения их производных.

Доказательство. Доопределим  и . Возьмем
произвольное . Тогда на  функции  и  непрерывны, на  дифференцируемы. Применима теорема Коши: ; при  имеем  и поэтому  – существует по условию.

Замечания. 1. В рассмотренном утверждении рассмотрен случай предельного перехода в конечной точке слева. Аналогично можно рассмотреть переходы:  ;  (произвольно); , ;  при неопределенности вида .

 Для неопределенности вида  во всех случаях предельного перехода также действует правило Лопиталя.

Заметим, что правило Лопиталя применяется только к дробям.

Чтобы применить правило Лопиталя для неопределенностей
вида , , ,  и т.д., нужно предварительно выражение преобразовать к дроби.

Равномерная непрерывность

Непрерывность обратной функции

Гиперболические функции и ареа-функции

Для рассмотрения дальнейших примеров нам понадобится определение гиперболических функций и ареа-функций, обратных к гиперболическим.

        Определение 3.6   Гиперболическим синусом называется функция
$\displaystyle \mathop{\rm sh}\nolimits x=\frac{1}{2}(e^x-e^{-x}).$
Гиперболическим косинусом называется функция
$\displaystyle \mathop{\rm ch}\nolimits x=\frac{1}{2}(e^x+e^{-x}).$
Гиперболическим тангенсом называется функция
$\displaystyle \mathop{\rm th}\nolimits x=\frac{e^x-e^{-x}}{e^x+e^{-x}}=\dfrac{\mathop{\rm sh}\nolimits x}{\mathop{\rm ch}\nolimits x}.$
Гиперболическим котангенсом называется функция
$\displaystyle \mathop{\rm cth}\nolimits x=\frac{e^x+e^{-x}}{e^x-e^{-x}}=\dfrac{...
...\nolimits x}{\mathop{\rm sh}\nolimits x}=\dfrac{1}{\mathop{\rm th}\nolimits x}.$

 

Примеры и упражнения

 

ПРИМЕР. Вычислить пределы , .

РЕШЕНИЕ

.

.

2. Правило Лопиталя применяется только для раскрытия неопределенностей.

ПРИМЕР.  – здесь нет неопределенности, правило Лопиталя не применимо; в точке  функция непрерывная и предел ее при   равен значению функции в предельной точке.

3. При применении правила Лопиталя дифференцируется
числитель и знаменатель дроби отдельно.

4. Иногда правило Лопиталя применяется несколько раз.

ПРИМЕР. Вычислить .

РЕШЕНИЕ. Значение предела

 позволяет сравнить бесконечно большие при  функции: показательная функция  – бесконечно большая функция большего порядка по сравнению со степенной функцией  – бесконечно большой при .