Высшая математика Непрерывность функций и точки разрыва

Машиностроительное черчение
Единая система конструкторской
документации
Машиностроительные построения
Инженерная графика
Сборочный чертеж
Начертательная геометрия
Геометрические основы
построения чертежа
Конспект лекций по начертательной
геометрии
История искусства
Стили в искусстве Готика
Русский балетный театр
Русское изобразительное искусство
ТКМ
Материаловедение
Основы теории сплавов
Теория конструктивных материалов
Сопромат
Сопративление метериалов
Лабораторные работы
Задачи строительной механики
Лекции физика
Физика
Электричество
Магнетизм
Оптика
Электромагнетизм
Молекулярная физика
Лекции МАИ
Лекции МАИ часть 2
Диэлектрики
Квантовая механика
Физические законы механики
Электромагнитное взаимодействия
Атомные станции
Атомная энергетика
Экология энергетики
Атомная и ядерная физика
Теплотехника
Термодинамика
Билеты к экзамену по физике
Задачи физика электротехника
Решение задач по ядерной физике
Электростатика
Геометрическая оптика
Тепловое излучение
Основы теории сплавов
Теория относительности
Физические основы механики
Законы идеальных газов
Электростатика
Основы электротехники
Постоянный ток
Электромагнетизм
Оптика
Законы теплового излучения
Ядерная физика
Строение атома и молекул
Задачи математика
Математика
1 семестр
2 семестр
3 семестр
4 семестр
Интегралы
Лекции по высшей математике
Вычисление площадей в
декартовых координатах
Аналитическая геометрия
 
Информатика
Восстановление сети после аварии
Основные понятия и категории
информатики
Сетевые операционные системы

 

Третья глава посвящена изучению понятия непрерывности и точек разрыва числовых функций. Здесь изучаются свойства непрерывных функций, в том числе связанные с достаточно сложным понятием равномерной непрерывности. Многие утверждения этой главы являются базовыми для различных приложений, например, связанных с поиском корней уравнений и экстремумов функций.

Если у Вас большие трудности со временем и Вы наглядно представляете себе, что такое непрерывная функция, то поначалу вы можете бегло ознакомиться с этой главой, возвращаясь к ней по мере надобности в дальнейшем, по мере появления ссылок на утверждения этой главы.

Определение непрерывности функции

Определение точек разрыва

Свойства функций, непрерывных в точке

Непрерывность функции на интервале и на отрезке

ПРАВИЛО ЛОПИТАЛЯ**

Утверждение Если 1)  и  непрерывные и дифференцируемые на  функции;  на  ( – конечное число, или );

2) ;

,  то ,

т.е. раскрывается неопределенность вида  при  (слева); предел отношения функции заменяется пределом отношения их производных.

Доказательство. Доопределим  и . Возьмем
произвольное . Тогда на  функции  и  непрерывны, на  дифференцируемы. Применима теорема Коши: ; при  имеем  и поэтому  – существует по условию.

Замечания. 1. В рассмотренном утверждении рассмотрен случай предельного перехода в конечной точке слева. Аналогично можно рассмотреть переходы:  ;  (произвольно); , ;  при неопределенности вида .

 Для неопределенности вида  во всех случаях предельного перехода также действует правило Лопиталя.

Заметим, что правило Лопиталя применяется только к дробям.

Чтобы применить правило Лопиталя для неопределенностей
вида , , ,  и т.д., нужно предварительно выражение преобразовать к дроби.

Равномерная непрерывность

Непрерывность обратной функции

Гиперболические функции и ареа-функции

Для рассмотрения дальнейших примеров нам понадобится определение гиперболических функций и ареа-функций, обратных к гиперболическим.

        Определение 3.6   Гиперболическим синусом называется функция
$\displaystyle \mathop{\rm sh}\nolimits x=\frac{1}{2}(e^x-e^{-x}).$
Гиперболическим косинусом называется функция
$\displaystyle \mathop{\rm ch}\nolimits x=\frac{1}{2}(e^x+e^{-x}).$
Гиперболическим тангенсом называется функция
$\displaystyle \mathop{\rm th}\nolimits x=\frac{e^x-e^{-x}}{e^x+e^{-x}}=\dfrac{\mathop{\rm sh}\nolimits x}{\mathop{\rm ch}\nolimits x}.$
Гиперболическим котангенсом называется функция
$\displaystyle \mathop{\rm cth}\nolimits x=\frac{e^x+e^{-x}}{e^x-e^{-x}}=\dfrac{...
...\nolimits x}{\mathop{\rm sh}\nolimits x}=\dfrac{1}{\mathop{\rm th}\nolimits x}.$

 

Примеры и упражнения

 

ПРИМЕР. Вычислить пределы , .

РЕШЕНИЕ

.

.

2. Правило Лопиталя применяется только для раскрытия неопределенностей.

ПРИМЕР.  – здесь нет неопределенности, правило Лопиталя не применимо; в точке  функция непрерывная и предел ее при  равен значению функции в предельной точке.

3. При применении правила Лопиталя дифференцируется
числитель и знаменатель дроби отдельно.

4. Иногда правило Лопиталя применяется несколько раз.

ПРИМЕР. Вычислить .

РЕШЕНИЕ. Значение предела

  позволяет сравнить бесконечно большие при  функции: показательная функция  – бесконечно большая функция большего порядка по сравнению со степенной функцией  – бесконечно большой при .