Высшая математика Производные и дифференциалы

Строймех
Сопромат
Математика

Театр

Карта

Четвёртая глава повествует о, быть может, самом главном понятии, на котором держится вся современная математика -- понятии производной (во всяком случае, наряду с определённым интегралом, об одном из двух самых главных понятий). Эту главу непременно нужно подробнейшим образом изучить и научиться находить производные так, чтобы эта процедура не вызывала в дальнейшем затруднений. Поверьте, содержательных трудностей в дальнейшем будет достаточно, так что процедура нахождения производной, которая часто будет вспомогательной при решении сложных задач, должна рассматриваться как дело техники вычислений и не вызывать замешательства. Итак, четвёртая глава -- самая главная глава во всей той части учебника, что посвящена математическому анализу! Пропускать её или относиться к ней без пристального внимания никак нельзя.

Мгновенная скорость при прямолинейном движении

Касательная к кривой на плоскости

Производная

Свойства производных

Производные некоторых элементарных функций

Дифференциал

Производная композиции

Инвариантность дифференциала

Производная обратной функции

Правило Лопиталя не является универсальным,
оно применимо лишь тогда, когда существует предел отношения производных .

ПРИМЕР. Значение предела  получить по правилу Лопиталя нельзя, поскольку  – не существует (поведение  при  неопределенное). Можно провести счет, например, так: , применяя теорему о пределе произведения бесконечно малой функции на
ограниченную, в нашем случае,  при  .

ФОРМУЛА ТЕЙЛОРА* – базовая формула математического анализа.

ЗАДАЧА (наилучшего локального приближения)

Пусть произвольная функция с "хорошими" свойствами   рассматривается на какой-либо окрестности точки . Найти многочлен  заданной степени  так, чтобы отклонение  на  было наименьшим.

РЕШЕНИЕ. Ищем  в виде многочлена по степеням разности .

Тогда естественно потребовать выполнение соотношений

 при , т.е. ;

 при , т.е.

;

 при , т.е.

.

Аналогично  и далее .

ОПРЕДЕЛЕНИЕ (многочлена Тейлора). Если для ,  существуют производные , , , то многочлен

называется многочленом Тейлора n – го порядка функции  по степеням разности .

Он единственен!

В этом случае говорят, что "функция  "порождает" свой
многочлен Тейлора в точке ".

Покажем, что именно многочлен Тейлора  функции  задает наилучшее локальное приближение этой функции. Для этого оценим погрешность приближения , т.е. оценим на  функцию .

1.  – качественная характеристика погрешности (форма Пеано*).

В самом деле, рассмотрим

( применим последовательно "" раз правило Лопиталя )

,

а это означает, что ,

т.е.  – формула Тейлора ""-го порядка для функции   по степеням разности   с остаточ-ным членом в форме Пеано.

2. ,  – между  и  –количественная характеристика погрешности (форма Лагранжа).

В самом деле, преобразуем отношение

( по теореме Коши:  между  и ;  – параметр )

( по теореме Коши:  между  и ;  – параметр )

( после ""-кратного применения теоремы Коши:  между  и , т.е. между  и  )

.

Итак, если функция   раз дифференцируема в окрестности точки , причем  – непрерывная функция в этой окрестности, то

,

где  – некоторая точка между  и , т.е. функция представима
по формуле Тейлора ""-го порядка по степеням разности  с остаточным членом в форме Лагранжа.

При  формулу Тейлора называют иногда формулой
Маклорена* и записывают

.

Производные некоторых элементарных функций (продолжение)

Сводка основных результатов о производных

Производные высших порядков

Дифференциалы высших порядков и их неинвариантность

Производные функции, заданной параметрически

Производная функции, заданной неявно

Приближённое вычисление производных

Примеры и упражнения

Свойства дифференцируемых функций

Пятая глава посвящена изучению свойств функций, имеющих производные во всех точках интервала или отрезка. Эти свойства весьма важны для дальнейшего теоретического изучения материала. Особое внимание обратите на полученную в этой главе формулу конечных приращений, которая далее будет использоваться довольно-таки часто.

В этой же главе изучается полезный приём вычисления пределов -- правило Лопиталя.

При большой спешке с этой главой можно лишь бегло ознакомиться, оставив подробное изучение до тех времён, когда в дальнейшем Вам встретится ссылка на соответствующие теоремы из этой главы.

Четыре теоремы о дифференцируемых функциях

Правило Лопиталя

Сравнение бесконечно больших величин

Пусть $ \mathcal{B}$ -- некоторая база, и $ f(x)$ и $ g(x)$ -- функции, заданные на некотором окончании этой базы. В главе 2 мы изучали сравнение функций $ f(x)$ и $ g(x)$ при базе $ \mathcal{B}$ в случае, когда они является бесконечно малыми. Здесь же мы изучим сравнение бесконечно больших $ f(x)$ и $ g(x)$.

        Определение 5.1   Пусть $ f(x),g(x)$ -- бесконечно большие величины при базе $ \mathcal{B}$. Они имеют один и тот же порядок роста при базе $ \mathcal{B}$, если существует предел
$\displaystyle \lim_{\mathcal{B}}\dfrac{f(x)}{g(x)}=L\ne0.$
То, что $ f(x)$ и $ g(x)$ имеют один и тот же порядок роста, обозначим так:
$\displaystyle f(x)\mathrel{\mathop{\asymp}\limits_{\mathcal{B}}}g(x).$
Если при этом $ L=1$, то бесконечно большие $ f(x)$ и $ g(x)$ называются эквивалентными при базе $ \mathcal{B}$; это обозначается так:
$\displaystyle f(x)\mathrel{\mathop{\sim}\limits_{\mathcal{B}}}g(x).$
Если
$\displaystyle \lim_{\mathcal{B}}\dfrac{f(x)}{g(x)}=0,$
то величина $ f(x)$ имеет меньший порядок роста при базе $ \mathcal{B}$, чем величина $ g(x)$. Этот факт записывается так:
$\displaystyle f(x)\mathrel{\mathop{\prec}\limits_{\mathcal{B}}}g(x).$
Наконец, если при некотором $ k>0$ имеет место соотношение
$\displaystyle f(x)\mathrel{\mathop{\asymp}\limits_{\mathcal{B}}}(g(x))^k,$
то будем говорить, что величина $ f(x)$ имеет порядок роста, равный $ k$, относительно величины $ g(x)$.     
        Пример 5.7   При $ {x\to+\infty}$ величины $ {f_1(x)=\sqrt{x}}$, $ {f_2(x)=x}$ , $ {f_3(x)=x^3}$, $ {f_4(x)=x^3+\sin x}$, $ {f_5(x)=3x^3+x^2+1}$, $ {f_6(x)=x^4+1}$ -- бесконечно большие. При этом $ {f_4(x)\mathrel{\mathop{\asymp}\limits_{}}f_3(x)}$, $ {f_5(x)\mathrel{\mathop{\asymp}\limits_{}}f_3(x)}$, $ {f_1(x)\mathrel{\mathop{\prec}\limits_{}}f_2(x)}$, $ {f_2(x)\mathrel{\mathop{\prec}\limits_{}}f_3(x)}$, $ {f_4(x)\mathrel{\mathop{\sim}\limits_{}}f_3(x)}$, $ f_1(x)$ имеет порядок $ \frac{1}{2}$ относительно $ f_2(x)$, $ f_3(x)$ имеет порядок 3 относительно $ f_2(x)$ и порядок 6 относительно $ f_1(x)$, $ f_6(x)$ имеет порядок 4 относительно $ f_2(x)$ и порядок $ \frac{4}{3}$ относительно $ f_3(x)$.
В качестве простого упражнения докажите упомянутые соотношения; легко увидеть между функциями $ f_i(x)$, $ i=1,\dots,6$ также много других соотношений.     

 

Авто Диски Дешево: купить грузовые шины . Вал отбора мощности Камаз.;tenga купить;техосмотр онлайн