Высшая математика Формула Тейлора

Строймех
Сопромат
Математика

Театр

Карта

Шестая глава изучает формулу Тейлора -- способ приближённого представления числовой функции многочленом. Важность результатов этой главы выяснится при изучении математики в последующих семестрах, хотя некоторые важные следствия формулы Тейлора (например, оценки для формул приближённого дифференцирования) мы получаем уже в этой же главе. В следующих главах раздела "Математический анализ" в этом учебнике формула Тейлора также используется, хотя и не очень часто.

Здесь мы обсудим одну из весьма важных с практической точки зрения задач: как представить данную функцию сложного вида приближённо при помощи функции по возможности более простого вида, а именно, при помощи многочлена.

Формула Тейлора

Многочлен Тейлора

Остаток в формуле

Формула Тейлора для некоторых элементарных функций

ПРИМЕР 1. Разложить функцию  в окрестности точки , взяв .

РЕШЕНИЕ. Воспользуемся формулой Маклорена при . Найдем производные ; ;

; отсюда , , . Получаем .

ПРИМЕР 2. Убедиться самостоятельно в правильности разложений функции в окрестности по степеням :

, где   лежит между  и 0;

,

.

ПРИМЕР 3. Оценить абсолютную погрешность приближенного
равенства  при .

РЕШЕНИЕ. ,  – между  и 0. Поэтому . Например, для  абсолютная
погрешность не превосходит числа 0,04.

ПРИМЕР 4. Вычислить приближенно , используя формулу
Тейлора при , , ; оценить погрешность.

РЕШЕНИЕ. Рассмотрим функцию  и ее представление по формуле Тейлора в

,

т.е. . Оценим погрешность . Здесь точка   расположена между   и . Поскольку функция  возрастающая, то , т.е. . Поэтому с точностью  имеем .

ПРИМЕР 5. Используя разложения функций по формуле Тейлора, вычислить пределы:

а) ; б) .

РЕШЕНИЕ. а) ;

б) .

Оценки ошибок в формулах приближённого дифференцирования

Используя оценку остаточного члена в форме Лагранжа, можно провести анализ погрешности в формулах приближённого дифференцирования, предполагая шаг $ h$ малым.

Пусть функция $ f(x)$ разложена по формуле Тейлора, с остаточным членом в форме Лагранжа, в точке $ x_0$. Положим $ x=x_0+h$, тогда

$\displaystyle f(x_0+h)=f(x_0)+f'(x_0)h+\frac{f''(x_{{\theta}})}{2}h^2.$

Отсюда

$\displaystyle f'(x_0)=\dfrac{f(x_0+h)-f(x_0)}{h}+{\varepsilon}(x_0;h),$

где

$\displaystyle {\varepsilon}(x_0;h)=\frac{f''(x_{{\theta}})}{2}h$ --

погрешность формулы приближённого дифференцирования, получающаяся при замене $ f'(x_0)$ на разностную производную $ \dfrac{f(x_0+h)-f(x_0)}{h}$.

Следовательно,

$\displaystyle \vert{\varepsilon}(x_0;h)\vert\leqslant \frac{m_2}{2}h,$

где

$\displaystyle m_2=\max_{x\in[x_0;x_0+h]}\vert f''(x)\vert.$

Как правило, заранее известна более грубая оценка для $ f''$ на некотором отрезке $ [a;b]$, включающем в себя $ [x_0;x_0+h]$:

$\displaystyle M_2=\max_{x\in[a;b]}\vert f''(x)\vert\geqslant m_2,$

и $ M_2$ не зависит от $ x_0$ и $ h$. Тогда

$\displaystyle \vert{\varepsilon}(x_0;h)\vert\leqslant \frac{M_2}{2}h;$

из этой оценки и определяют погрешность вычислений при данном шаге $ h$.

Аналогично, можно получить оценку погрешности для разностной производной вида

$\displaystyle \dfrac{f(x_0+h)-f(x_0-h)}{2h}.$

Ошибку $ {\varepsilon}(x_0;h)$ при замене $ f'(x_0)$ на это отношение можно оценить исходя из разложения $ f(x)$ в точке $ x_0$ по формуле Тейлора с остаточным членом в форме Лагранжа порядка 3:

$\displaystyle f(x_0+h)=f(x_0)+f'(x_0)h+\frac{f''(x_0)}{2}h^2+
\frac{f'''(x_{{\theta}})}{6}h^3,$

где $ x_{{\theta}}\in(x_0;x_0+h)$. Подставляя сюда $ -h$ вместо $ h$, получаем:

$\displaystyle f(x_0-h)=f(x_0)-f'(x_0)h+\frac{f''(x_0)}{2}h^2-
\frac{f'''(x_{{\theta}_1})}{6}h^3,$

где $ x_{{\theta}_1}\in(x_0-h;x_0)$. Вычтем из первой формулы вторую:

$\displaystyle f(x_0+h)-f(x_0-h)=f'(x_0)\cdot2h+
\frac{f'''(x_{{\theta}})}{6}h^3-
\frac{f'''(x_{{\theta}_1})}{6}h^3.$

Отсюда

$\displaystyle f'(x_0)=\dfrac{f(x_0+h)-f(x_0-h)}{2h}-\dfrac{1}{12}\left(
f'''(x_{{\theta}})-
f'''(x_{{\theta}_1})\right)h^2.$

Если теперь предположить, что

$\displaystyle \max_{x\in[a;b]}\vert f'''(x)\vert=M_3,$

то оценка погрешности получится такая:

Упражнения

ТЕОРЕМЫ ПО ТЕМЕ "ИССЛЕДОВАНИЕ ФУНКЦИИ

И ПОСТРОЕНИЕ ЕЕ ГРАФИКА"

ТЕОРЕМА (о необходимом и достаточном условиях существования наклонной асимптоты кривой   при  или
при )

Пусть функция  определена на . Прямая  – наклонная асимптота для  при  тогда и только тогда, когда 1)  – конечное число; 2)  – конечное число.

Доказательство. () Если  – наклонная асимптота при  ( – числа), то , т.е. . Поэтому  и .

() Из 1) и 2) имеем  и , т.е.  – наклонная асимптота при .

Аналогичные рассуждения при .

ТЕОРЕМА (о достаточном условии строгой монотонности
функции на промежутке)

;

;

аналогично для строгого убывания функции

.

Доказательство. Возьмем ,  так, чтобы  (). Тогда по теореме Лагранжа найдется   такое, что  и , что соответствует определению строгого возрастания функции на промежутке.