Исследование функций и построение графиков

Строймех
Сопромат
Математика

Театр

Карта

Седьмая глава -- это одна из самых выжных глав в математическом анализе. Здесь изучаются свойства числовых функций, связанные с их поведением при изменении аргумента. Эти свойства -- как раз то, для чего и был избретён аппарат вычисления производных и изучались их свойства. В этой главе изучаются связи производных с возрастанием и убыванием функций, с направлением выпуклости их графиков, с нахождением экстремальных (то есть наибольших и наименьших) значений. Изучаются также другие важные подробности поведения функций, например, наличие асимптот. Всё это изучающий математику должен хорошо освоить: предыдущие главы учебника были лишь прелюдией к седьмой главе.

Асимптоты рафика функции

Возрастание и убывание функции

Экстремум функции и необходимое условие экстремума

Достаточные условия локального экстремума

Выпуклость функции

Общая схема исследования функции и построения её графика

Примеры исследования функций и построения графиков

  Пример 7.39   Построим график функции .

1). Функция $ g(x)$ -- многочлен, а у всех многочленов область определения -- вся вещественная ось: $ \mathcal{D}(g)=\mathbb{R}$.

2). Многочлены бывают чётными функциями, если содержат только чётные степени переменного $ x$, и нечётными функциями, если содержат только нечётные степени $ x$. Для функции $ g(x)$ это не так, значит, $ g(x)$ не является ни чётной, ни нечётной функцией.

Периодическими из всех многочленов бывают только постоянные, то есть не зависящие от $ x$; в нашем случае это не так, поэтому $ g(x)$ -- не периодическая функция.

3). Вертикальных асимптот график не имеет, поскольку область определения не имеет граничных точек. (У графиков многочленов вообще не бывает вертикальных асимптот.)

4). Поскольку многочлен имеет степень 3 (а не 1 или 0), то его график не имеет наклонных или горизонтальных асимптот.

5). Пересечение с осью $ Oy$ найдём, вычислив значение $ g(x)$ при $ x=0$: имеем $ {g(0)=2\cdot0^3-3\cdot0^2+0+5=5}$. Для нахождения пересечений графика с осью $ Ox$ следует решить уравнение $ 2x^3-3x^2+x+5=0$. Целых корней это уравнение не имеет. Вычисляя значения в некоторых целых точках, например,

 

$\displaystyle g(-2)=-25; g(-1)=-1; g(0)=5; g(1)=5; g(2)=11,$

 

мы начинаем подозревать, что уравнение имеет только один корень $ x_0$, лежащий на интервале $ (-1;0)$, причём ближе к точке $ -1$, чем к 0. (Действительно, если применить какой-либо из методов приближённого нахождения корней алгебраического уравнения, мы получим, что $ x_0\approx-0.919$. Эти методы мы изучим ниже, в главе 9. А пока нам достаточно того, что $ x_0\in(-1;0)$.) Заметим, что $ g(x)$ меняет знак с $ -$ на $ +$ при переходе через точку $ x_0$.

6). Производная данной функции равна $ g'(x)=6x^2-6x+1$. Найдём интервалы возрастания функции, решая неравенство $ 6x^2-6x+1>0$. Корни квадратного трёхчлена -- это $ \frac{1}{2}\pm\frac{\sqrt{3}}{6}\approx0.5\pm0.285$, значит, решением неравенства служит объединение интервалов $ (-\infty;\frac{1}{2}-\frac{\sqrt{3}}{6})\approx(-\infty;0.215)$ и $ (\frac{1}{2}+\frac{\sqrt{3}}{6};+\infty)\approx(0.785;+\infty)$. На каждом из этих интервалов функция $ g(x)$ возрастает. Интервалы убывания задаются обратным неравенством $ g'(x)<0$, то есть $ 6x^2-6x+1<0$. Его решением служит интервал $ (\frac{1}{2}-\frac{\sqrt{3}}{6};\frac{1}{2}+\frac{\sqrt{3}}{6})
\approx(0.215;0.785)$. На этом интервале функция убывает.

В точке $ x_1=\frac{1}{2}-\frac{\sqrt{3}}{6}\approx0.215$ возрастание функции сменяется убыванием, значит, $ x_1$ -- точка локального максимума. Значение функции в этой точке равно

 

$\displaystyle g(x_1)=\frac{2\sqrt{3}}{9}+5\approx5.38.$

 

В точке $ x_2=\frac{1}{2}+\frac{\sqrt{3}}{6}\approx0.785$ убывание функции сменяется возрастанием, значит, $ x_2$ -- точка локального минимума. Значение функции в этой точке равно

 

$\displaystyle g(x_2)=-\frac{2\sqrt{3}}{9}+4.5\approx4.12.$

 

Как мы видим, на участке убывания значения функции изменяются от $ 5.38$ до $ 4.12$ и остаются положительными. Это доказывает, что сама функция действительно имеет только один корень.

7). Вторая производная функции равна $ g''(x)=12x-6$. Для отыскания интервала выпуклости решим неравенство $ g''(x)>0$, то есть $ 12x-6>0$, откуда $ x>\frac{1}{2}$. Значит, функция выпукла на интервале $ (\frac{1}{2};+\infty)$. Обратное неравенство $ g''(x)<0$ даёт нам интервал вогнутости; очевидно, это $ (-\infty;\frac{1}{2})$. В точке $ \frac{1}{2}$ направление выпуклости меняется, следовательно, $ \frac{1}{2}$ -- это точка перегиба. Значение функции в этой точке равно $ g(\frac{1}{2})=5$.

8). С учётом предыдущих семи пунктов строим график функции $ g(x)$.

Рис.7.46.График функции $ 2x^3-3x^2+x+5$

Упражнения и задачи

 

ТЕОРЕМА (необходимое условие существования точки локального экстремума функции)

Если функция  непрерывна в  и имеет экстремум в точке , то  или не существует .

Доказательство. Пусть  – точка локального максимума функции , , , т.е. найдется окрестность этой точки  такая, что , т.е. . Далее используем теорему Ферма.

Аналогичные рассуждения для случая  – точка локального минимума функции .

ТЕОРЕМА 1 (достаточное условие существования точки локального экстремума функции)

Если 1)  – непрерывна на  и дифференцируема в ; , кроме возможно точки ;

 2)  или не существует ;

 3) ,  меняет знак в точке  при переходе слева направо через ,

то  имеет локальный экстремум в точке .

Доказательство. Пусть для определенности  на  (имеет знак "+") и  на  (имеет знак "–"). Тогда на  , т.е. ;

на  , т.е. ,

т.е. приращение функции ,  сохраняет знак, в окрестности точки ; а это означает (по определению), что  – точка локального максимума 
функции .

Аналогичные рассуждения в случае смены знака производной  с "–" на "+" при переходе слева направо через стационарную точку  ().

Заметим, что обратное утверждение неверно, т.е. в точке  функция может иметь  (например, ), а производная  меняет знак в бесконечном множестве точек на всякой окрестности точки .

Контрпример. , .

ТЕОРЕМА 2 (достаточное условие существования точки
локального экстремума функции)

Пусть функция  непрерывна и дважды дифференцируема на ; для всякого   – непрерывная функция.

Тогда если 1)  и 2) , то при  точка  является точкой локального минимума функции ;

при   – точка локального максимума функции .

Доказательство. Пусть для определенности . Тогда по формуле Тейлора имеем

,

или

 ().

Поскольку порядок слагаемых в правой части равенства разный, то можно указать сколь угодно малое число , такое что в   и знак  совпадет со знаком , т.е. для рассматриваемого случая  получаем  для , . По определению это означает, что  – точка  функции .

Аналогично рассуждаем для .