Приближённое нахождение корней уравнений

Машиностроительное черчение
Единая система конструкторской
документации
Машиностроительные построения
Инженерная графика
Сборочный чертеж
Начертательная геометрия
Геометрические основы
построения чертежа
Конспект лекций по начертательной
геометрии
История искусства
Стили в искусстве Готика
Русский балетный театр
Русское изобразительное искусство
ТКМ
Материаловедение
Основы теории сплавов
Теория конструктивных материалов
Сопромат
Сопративление метериалов
Лабораторные работы
Задачи строительной механики
Лекции физика
Физика
Электричество
Магнетизм
Оптика
Электромагнетизм
Молекулярная физика
Лекции МАИ
Лекции МАИ часть 2
Диэлектрики
Квантовая механика
Физические законы механики
Электромагнитное взаимодействия
Атомные станции
Атомная энергетика
Экология энергетики
Атомная и ядерная физика
Теплотехника
Термодинамика
Билеты к экзамену по физике
Задачи физика электротехника
Решение задач по ядерной физике
Электростатика
Геометрическая оптика
Тепловое излучение
Основы теории сплавов
Теория относительности
Физические основы механики
Законы идеальных газов
Электростатика
Основы электротехники
Постоянный ток
Электромагнетизм
Оптика
Законы теплового излучения
Ядерная физика
Строение атома и молекул
Задачи математика
Математика
1 семестр
2 семестр
3 семестр
4 семестр
Интегралы
Лекции по высшей математике
Вычисление площадей в
декартовых координатах
Аналитическая геометрия
 
Информатика
Восстановление сети после аварии
Основные понятия и категории
информатики
Сетевые операционные системы

 

Девятая глава посвящена приближённым методам математического анализа, связанным с функциями одного переменного. Заметим, что эти методы будут служить базой для многомерных приближённых методов в следующих семестрах.

Здесь изучаются две основные темы: методы приближённого поиска корней уравнений, то есть таких значений аргумента $ x_0$, что для заданной функции $ f$ получается значение $ f(x_0)=0$; вторая тема -- приближённое нахождение точек экстремума (максимума или минимума) данной функции $ f$ и самих экстремальных значений $ f_{\max}$ и $ f_{\min}$.

Данная глава опирается на теоретические результаты предыдущих глав, так что по мере её изучения вам, возможно, придётся обращаться к теоремам тех глав, которые Вы пропустили или лишь бегло изучили при первом чтении.

С практической точки зрения в приложениях, эта глава может оказаться наиболее ценной для применения математических методов при изучении других дисциплин, особенно технического и экономического характера, так что эту главу изучить надо непременно, хотя для понимания дальнейших математических разделов (теоретического, а не вычислительного характера) результаты этой главы не обязательны.

Кривизна плоской кривой

Кривизна графика функции

Вершины кривых

Радиус кривизны

Упражнения

Приближённое нахождение корней уравнений и точек экстремума

Отделение корней

СВОЙСТВА НЕОПРЕДЕЛЕННОГО ИНТЕГРАЛА

Свойства неопределенного интеграла базируются на свойствах дифференциала функции. kjellberg охлаждающая жидкость охлаждающая жидкость hypertherm

Напомним, что если  – дифференцируемая в точке  функция, то произведение

является дифференциалом функции  в точке  соответственно приращению аргумента .

Для дифференцируемых функций  и  правила действий над их дифференциалами аналогичны правилам вычисления производных (здесь и везде далее  – произвольное число), а именно:

;

;

;

.

Геометрические и физические приложения Длина кривой. Если подынтегральная функция f(x, y, z) ≡ 1, то из определения криволинейного интеграла 1-го рода получаем, что в этом случае он равен длине кривой, по которой ведется интегрирование:

Для первообразной  функции  из соотношения ,  имеем  или  – подведение функции  под дифференциал.

Используя указанные равенства, получаем следующие свойства неопределенного интеграла.

Свойство 1. ,

т.е. производная неопределенного интеграла (производная каждой функции множества всех первообразных ) равна подынтегральной функции.

Свойство 2. ,

т.е. дифференциал неопределенного интеграла (дифференциал
каждой функции множества всех первообразных) равен подынтегральному выражению.

Иначе, знаки дифференциала и интеграла взаимно уничтожаются, если знак "" стоит перед знаком "".

  Свойство 3. ,

т.е. неопределенный интеграл от дифференциала какой-либо функции равен сумме этой функции и произвольного числа . Иначе, если знак "" стоит рядом и перед знаком "", то эти знаки тоже взаимно уничтожаются, причем к функции  прибавляется произвольное число .

 Свойство 4.  –

аддитивность по функции операции интегрирования, т.е. неопределенный интеграл от суммы функций равен сумме неопределенных интегралов от этих функций (предполагается, что все участвующие в равенстве интегралы существуют). При этом, если  и , то записывают , объединяя  и  в одну произвольную постоянную .

Свойство 4 верно для суммы конечного множества слагаемых.

 Свойство 5. , ,  –

Однородность операции интегрирования, т.е. при вычислении неопределенного интеграла постоянный ненулевой множитель можно
выносить за знак интеграла (соответственно можно вносить под знак интеграла).

Метод простого перебора

Метод половинного деления

Метод простых итераций

Метод секущих

Метод одной касательной

Метод Ньютона (метод касательных)

Метод хорд (метод линейной интерполяции)

Приближённое нахождение точки экстремума

Метод простого перебора

ПРИМЕР. Вычислить интеграл .

РЕШЕНИЕ. В силу свойства 4 имеем .

Согласно свойству 5 выполняются равенства: , .

Из ранее рассмотренных примеров имеем  и . Поэтому . Отсюда в силу свойства 3 .

 Свойство 6. Пусть  – первообразная для  на ; функция  – произвольная дифференцируемая на  функция, множество значений которой совпадает с . Тогда равенство  сохраняется, если заменить в обеих частях его переменную интегрирования  функцией

.

В самом деле, вычисляя дифференциал сложной функции , получим выражение

,

совпадающее с подынтегральным выражением интеграла, что
доказывает справедливость формулы.

Свойство 6 называют обычно свойством инвариантности
формул интегрирования и используют при вычислении интегралов (замена переменной).

Метод почти половинного деления

Метод золотого сечения и метод Фибоначчи

Методы, связанные с приближённым нахождением корня производной

Как уже отмечалось выше, если известно, что точка локального экстремума функции $ f(x)$ на отрезке $ [a;b]$ единственна и лежит внутри отрезка, то в этой точке $ x^*$ выполняется равенство $ f'(x^*)=0$. Таким образом, для нахождения точки локального минимума с точностью $ {\varepsilon}$ нужно с этой точностью найти корень уравнения $ f'(x)=0$. Будем предполагать, что для функции $ f'(x)$ известно аналитическое выражение или мы умеем вычислять значения $ f'(x)$ при заданном $ x$ каким-либо иным способом. Для нахождения корня мы можем применить один из приближённых методов решения уравнений, которые мы обсуждали в этой главе ранее.

Например, метод Ньютона, применённый к уравнению $ f'(x)=0$, даёт итерационную формулу (см. формулу (9.1)):

 

$\displaystyle x_{i+1}=x_i-\dfrac{f'(x_i)}{f''(x_i)},$

 

$ i=0,1,2,\dots$, причём для начала итераций нужно выбрать начальное приближение $ x_0$. При этом нужно будет уметь вычислять и вторую производную, а также предполагать, что она не обращается в 0 на интересующем нас отрезке.

Метод хорд даёт итерационную формулу (см. формулу (9.3)):

 

$\displaystyle x_{i+1}=x_i-\dfrac{f'(x_i)}{\dfrac{f'(x_i)-f'(x_{i-1})}{x_i-x_{i-1}}},$

 

$ i=1,2,3,\dots$, причём для начала нужно выбрать два начальных значения $ x_0$ и $ x_1$.

Эти методы весьма эффективны, если выполняются условия их применимости. Их достоинства и недостатки -- продолжение тех же свойств соответствующих методов приближённого поиска корня.

Упражнения