Прямые линии и плоскости

Строймех
Сопромат
Математика

Театр

Карта

Уравнение поверхности

В школе изучались уравнения линий на плоскости. В пространстве мы будем пользоваться уравнениями поверхностей и линий. Уточним сейчас, что такое уравнение поверхности.

 

        Определение 11.1   Пусть в пространстве задана некоторая система координат и поверхность $ S$ . Будем говорить, что уравнение, связывающее три упорядоченные переменные, является уравнением поверхности $ S$ в заданной системе координат, если координаты любой точки поверхности $ S$ удовлетворяют этому уравнению, а координаты любой точки, не лежащей на поверхности $ S$ , этому уравнению не удовлетворяют.         

Вместо слов "координаты точки удовлетворяют уравнению" иногда будем говорить "точка удовлетворяет уравнению".

Если мы изменим систему координат, то, как правило, изменится и уравнение поверхности.

Если уравнение достаточно сложное, то удовлетворяющие ему точки могут образовывать не только поверхность, но и другие множества, например, линию, одну точку, пару линий. Есть такие уравнения, которым не удовлетворяет ни одна точка пространства. Например, ни одна точка с координатами $ (x;y;z)$ не удовлетворяет уравнению $ {x^2+y^2+z^2=-1}$ .

В определении сказано, что уравнение должно связывать три переменных, но по записи уравнения не всегда можно определить, сколько переменных оно связывает. Например, уравнение $ x+y=0$ можно рассматривать как уравнение прямой на плоскости, но можно это же уравнение записать в виде $ x+y+0\cdot z=0$ , и тогда оно будет определять поверхность в пространстве (плоскость, как станет известно дальше). Поэтому кроме самого уравнения должна быть задана информация о том, в пространстве какой размерности находится определяемое этим уравнением множество точек. Непосредственное интегрирование. Пример Найти . В простейших примерах применяется метод непосредственного интегрирования, то есть используются свойства и таблицы интегралов. А именно, при помощи тождественных преобразований подынтегрального выражения исходный интеграл сводится к табличному интегралу или к сумме табличных интегралов.

Одна и та же поверхность может задаваться разными уравнениями. Например, если в уравнении поверхности $ S$ в правой части стоит нуль: $ {F(x,y,z)=0}$ , то обе части уравнения можно возвести в квадрат и получить $ {(F(x,y,z))^2=0}$ . Новое уравнение будет являться уравнением той же самой поверхности $ S$ , хотя будет выглядеть по другому. Естественно, что когда говорят об уравнении поверхности, то из всех уравнений этой поверхности стараются выбрать наиболее "простое".

Уравнение плоскости

Изображение плоскости

Все коэффициенты и свободный член в уравнении отличны от нуля

Коэффициенты при неизвестных отличны от нуля, а свободный член равен нулю

Один из коэффициентов при неизвестных равен нулю

Два коэффициента при переменных равны нулю

ПРИМЕР 2. Вычислить .

РЕШЕНИЕ. Умножим и поделим подынтегральное выражение на число 3 и запишем .

Применив формулу 4 таблицы интегралов при , получим .

ПРИМЕР 3. Проверить формулу 8 в таблице интегралов непосредственным вычислением интеграла.

РЕШЕНИЕ. Так как , то, подведя под знак дифференциал , придем к формуле 2 таблицы интегралов: .

Рекомендуется аналогично проверить формулу 9.

В тех случаях, когда выбор функции , подлежащей подведению под дифференциал, не является очевидным, следует осуществить поиск такой формулы, у которой подынтегральное выражение по структуре сходно с подынтегральным выражением вычисляемого интеграла; при этом должна быть обнаруженной и упомянутая
функция .

ПРИМЕР 4. Вычислить .

РЕШЕНИЕ. Связь между функциями  и  может быть выражена в виде равенства . Поэтому интеграл  имеет смысл представить в виде   и попытаться применить формулу 1 таблицы, понимая под функцией  основание степени . "Сконструируем" дифференциал этого основания степени  в подынтегральном выражении, умножая и деля одновременно его на число . Затем применим
формулу 1. В результате получим

.

ПРИМЕР 5. Вычислить .

РЕШЕНИЕ. Снова выбор табличного интеграла, к которому попытаемся свести интеграл , проведем по структуре подынтегрального выражения. Оно представляет собой дробь, знаменатель которой содержит квадратный корень разности положительного числа  и квадрата функции – . Поэтому в таблице интегралов подходящей является формула 14. Учитывая равенство ,
получаем .

Угол между плоскостями

Расстояние от точки до плоскости

Прямая на плоскости

Прямая в пространстве

Основные задачи на прямую и плоскость

ПРИМЕР 6. Вычислить .

РЕШЕНИЕ. Подводим под дифференциал  и используем формулу 15 таблицы интегралов:

.

Заметим, что интегралы  и  (без множителя  перед квадратным корнем в знаменателе) нельзя вычислить по формулам 14 и 15, поскольку .

ПРИМЕР 7. Вычислить .

РЕШЕНИЕ. Подынтегральная функция по структуре – дробь;
в числителе – показательная функция , производная ее – та же показательная функция с точностью до постоянного множителя; знаменатель есть сумма квадрата функции , так как , и положительного числа 3, которое можно представить в виде . Эти соображения показывают, что следует применить формулу 12. Так как , то будем иметь

.

Заметим, что формула 2 к рассматриваемому интегралу не
применима, так как дифференциал знаменателя  сконструировать в числителе нельзя. Белоснежка раскраска распечатать

Непосредственным интегрированием с помощью табличных интегралов можно найти не всякий интеграл, например .
Для вычисления этого интеграла нужны другие соображения.

 

аренда фуршетных столов;тут;опалубка аренда цены