Прямые линии и плоскости - лекции, задачи с решениями Прямые линии и плоскости


Основные задачи на прямую и плоскость

Довольно часто встает следующая задача. Требуется от общих уравнений прямой перейти к параметрическим, которые в некотором смысле являются более удобными. Рассмотрим, как решить такую задачу.

Для того, чтобы написать параметрические уравнения прямой нужно знать координаты какой-нибудь точки на прямой и координаты направляющего вектора. Как найти координаты точки $ M_0$ на прямой, мы уже обсуждали выше Направляющий вектор можно найти двумя способами.

Во-первых, можно найти координаты другой точки $ M_1$ на этой же прямой и в качестве направляющего вектора взять вектор $ \overrightarrow {M_0M_1}$ .

Во-вторых, если заметить, что нормальные векторы $ {\bf n}_1$ и $ {\bf n}_2$ плоскостей, чьи уравнения образуют систему уравнений для прямой, ортогональны самой прямой, то можно сделать вывод: любой ненулевой вектор, ортогональный векторам $ {\bf n}_1$ и $ {\bf n}_2$ , можно принять в качестве направляющего вектора p. В частности, можно положить $ {{\bf p}={\bf n}_1\times {\bf n}_2}$ .

Пример 11.4 Прямая задана уравнениями
$\displaystyle \left\{\begin{array}{l} 2x-3y+4z+1=0,\\ x+2y-2z+2=0.\end{array}\right.$(11.15)

Требуется написать ее параметрические уравнения.
Решение. Найдем какую-нибудь точку $ M_0$ на прямой. Положим $ z=0$ . Система(11.15) примет вид
$\displaystyle \left\{\begin{array}{l} 2x-3y+1=0,\\ x+2y+2=0,\end{array}\right.$
Решая ее, находим $ x=-\frac 87$ , $ y=-\frac 37$ . Таким образом, на прямой лежит точка $ M_0\left(-\frac 87;-\frac37;0\right)$ . Найдем направляющий вектор. Нормальными векторами плоскостей, соответствующих уравнениям системы(11.15), являются $ {{\bf n}_1=(2;-3;4)}$ , $ {{\bf n}_2=(1;2;-2)}$ . Положим $ {\bf p}={\bf n}_1\times {\bf n}_2$ . Тогда
$\displaystyle {\bf p}=\left\vert\begin{array}{rrr} {\bf i}&{\bf j}&{\bf k}\\ 2&-3&4\\ 1&2&-2\end{array}\right\vert=
-2{\bf i}+8{\bf j}+7{\bf k}.$
Теперь, зная точку и направляющий вектор, можно написать параметрические уравнения прямой.
Ответ: $ \left\{\begin{array}{l}x=-2t-\frac87,\\ y=8t-\frac37,\\ z=7t.\end{array}\right.$

Следующая, часто встречающаяся, задача такая:

Дано уравнение плоскости и уравнения прямой. Требуется найти их точку пересечения.

Так как точка пересечения принадлежит и прямой, и плоскости, то она удовлетворяет и уравнению плоскости, и уравнениям прямой. Поэтому для решения задачи нужно объединить уравнение плоскости и уравнения прямой в одну систему и решить ее.

Пример 11.5 Найдите точку пересечения прямой $ \frac{x-2}2=\frac{y+1}{-1}=\frac{z-1}3$ и плоскости $ {x+y+2z-1=0}$ .
Решение. Прямая задана каноническими уравнениями. Им соответствует система уравнений
$\displaystyle \left\{\begin{array}{l} \dfrac{x-2}2=\dfrac{y+1}{-1},\\ \dfrac{x-2}2=\dfrac{z-1}3.
\end{array}\right.$
В результате для нахождения точки пересечения прямой и плоскости получаем систему уравнений
$\displaystyle \left\{\begin{array}{l} \dfrac{x-2}2=\dfrac{y+1}{-1},\\ \dfrac{x-2}2=\dfrac{z-1}3,\\
x+y+2z-1=0.\end{array}\right.$
Для ее решения можно предложить следующий путь. Из первого уравнения выражаем $ y$ через $ x$ : $ {y=-\frac x2}$ . Из второго-- $ z$ через $ x$ : $ {z=\frac{3x}2-2}$ . Найденные выражения для $ y$ и $ z$ подставляем в третье уравнение и находим $ {x=\frac{10}7}$ . Находим $ y$ и $ z$ : $ {y=-\frac57}$ , $ {z=\frac17}$ .
Ответ: $ M\left(\frac{10}7;-\frac57;\frac17\right)$ .

Следующие две задачи связаны с нахождением угла.

1. Даны уравнения двух прямых. Требуется найти угол между этими прямыми.

Угол $ {\varphi}$ между прямыми-- это угол $ \psi$ между их направляющими векторами, если направляющие векторы образуют острый угол $ (\cos\psi>0)$ , или $ {\varphi}=\pi-\psi$ , если $ \psi$ -- тупой угол $ (\cos\psi<0)$ . Во втором случае $ {\cos{\varphi}=-\cos\psi=\vert\cos\psi\vert}$ .

Для решения задачи достаточно найти направляющие векторы $ {\bf p}_1$ и $ {\bf p}_2$ прямых. Тогда

$\displaystyle \cos\psi=\frac{{\bf p}_1{\bf p}_2}{\vert{\bf p}_1\vert\cdot\vert{\bf p}_2\vert},$

а искомый угол $ {\varphi}$ определяется из равенства

$\displaystyle \cos{\varphi}=\frac{\vert{\bf p}_1{\bf p}_2\vert}{\vert{\bf p}_1\vert\cdot\vert{\bf p}_2\vert}.$

2. Даны уравнение плоскости $ \Pi$ и уравнения прямой $ {\gamma}$ . Требуется найти угол $ {\varphi}$ между прямой и плоскостью.

По определению, угол между прямой и плоскостью-- это угол между прямой и ее проекцией на эту плоскость (рис. 11.12).




Рис.11.12.$ {\varphi}$ -- угол между прямой и плоскостью


Пусть $ \psi$ -- угол между нормальным вектором n плоскости $ \Pi$ и направляющим вектором p прямой $ {\gamma}$ . Тогда либо $ {{\varphi}=\frac{\pi}2
-\psi}$ (рис. 11.12), либо $ {{\varphi}=\psi-\frac{\pi}2}$ (рис. 11.13).




Рис.11.13.$ {\varphi}$ -- угол между прямой и плоскостью


В обоих случаях $ \sin{\varphi}=\vert\cos\psi\vert$ , а так как $ \cos\psi=\frac{{\bf n}{\bf p}}
{\vert{\bf n}\vert\cdot\vert{\bf p}\vert}$ , то

$\displaystyle \sin{\varphi}=\frac{\vert{\bf n}{\bf p}\vert}{\vert{\bf n}\vert\cdot\vert{\bf p}\vert}.$

Еще одну, более сложную, задачу рассмотрим при конкретных числовых данных.

Пример 11.6 Найдите точку $ M_1$ , симметричную точке $ M(1;-2;1)$ относительно прямой $ {\gamma}$ :
$\displaystyle \left\{\begin{array}{l}x+y=1,\\ x-y-z=2.\end{array}\right.$(11.16)

Решение. Найдем сначала проекцию $ M_0$ точки $ M$ на прямую $ {\gamma}$ (рис 2.14).



Рис.11.14.Точки, симметричные относительно прямой


Для этого напишем уравнение плоскости $ \Pi$ , проходящей через точку $ M$ и перпендикулярной прямой $ {\gamma}$ , а затем найдем точку $ M_0$ , являющуюся точкой пересечения плоскости и прямой.
Заметим, что плоскость, перпендикулярная прямой $ {\gamma}$ , параллельна нормальным векторам $ {\bf n}_1$ и $ {\bf n}_2$ плоскостей, соответствующих уравнениям в системе(11.16). Поэтому нормальный вектор n плоскости, перпендикулярной прямой $ {\gamma}$ , можно взять равным $ {\bf n}_1\times {\bf n}_2$ : $ {{\bf n}_1=(1;1;0)}$ , $ {{\bf n}_2=(1;-1;-1)}$ ,
$\displaystyle {\bf n}={\bf n}_1\times {\bf n}_2=\left\vert\begin{array}{rrr}{\b...
...j}&{\bf k}\\ 1&1&0\\ 1&-1&-1\end{array}
\right\vert=-{\bf i}+{\bf j}-2{\bf k}.$
Уравнение плоскости $ \Pi$ : $ -(x-1)+(y-(-2))-2(z-1)=0$ , то есть $ {-x+y-2z+5=0}$ .
Находим точку $ M_0$ :
$\displaystyle \left\{\begin{array}{l} x+y=1,\\ x-y-z=2,\\ -x+y-2z+5=0.\end{array}\right.$
Решение этой системы: $ x=2$ ; $ y=-1$ ; $ z=1$ , $ M_0(2;-1;1)$ .
Пусть $ M_1(x;y;z)$ -- искомая точка. Тогда из рис. 11.14 видно, что $ {\overrightarrow {MM_1}=2\overrightarrow {MM_0}}$ . Находим $ {\overrightarrow {MM_1}=(x-1;y+2;z-1)}$ , $ {\overrightarrow {MM_0}=(1;1;0)}$ . Тогда
$\displaystyle \left\{\begin{array}{l}x-1=2,\\ y+2=2,\\ z-1=0,\end{array}\right.$
откуда $ x=3$ , $ y=0$ , $ z=1$ .

Ответ: $ M_1(3;0;1)$ .

Условный экстремум.

 Условный экстремум находится, когда переменные х и у, входящие в функцию u = f( x, y), не являются независимыми, т.е. существует некоторое соотношение

j(х, у) = 0, которое называется уравнением связи.

 Тогда из переменных х и у только одна будет независимой, т.к. другая может быть выражена через нее из уравнения связи.

 Тогда u = f(x, y(x)).

В точках экстремума:

 =0 (1)

Кроме того:

   (2)

Умножим равенство (2) на число l и сложим с равенством (1).

  Для выполнения этого условия во всех точках найдем неопределенный коэффициент l так, чтобы выполнялась система трех уравнений:

 Полученная система уравнений является необходимыми условиями условного экстремума. Однако это условие не является достаточным. Поэтому при нахождении критических точек требуется их дополнительное исследование на экстремум.

 Выражение u = f(x, y) + lj(x, y) называется функцией Лагранжа.

 

Пример. Найти экстремум функции f(x, y) = xy, если уравнение связи:

2x + 3y – 5 = 0

  Таким образом, функция имеет экстремум в точке .

Использование функции Лагранжа для нахождения точек экстремума функции называется также методом множителей Лагранжа.

Выше мы рассмотрели функцию двух переменных, однако, все рассуждения относительно условного экстремума могут быть распространены на функции большего числа переменных.

Что касается приемов вычисления определенных интегралов, то они практически ничем не отличаются от всех тех приемов и методов, которые были рассмотрены выше при нахождении неопределенных интегралов. Точно так же применяются методы подстановки (замены переменной), метод интегрирования по частям, те же приемы нахождения первообразных для тригонометрических, иррациональных и трансцендентных функций. Особенностью является только то, что при применении этих приемов надо распространять преобразование не только на подинтегральную функцию, но и на пределы интегрирования. Заменяя переменную интегрирования, не забыть изменить соответственно пределы интегрирования.