Пусть на плоскости заданы две декартовы прямоугольные системы координат:("старая") и
("новая"), причем как оси абсцисс, так и оси ординат обеих систем параллельны и одинаково направлены (рис. 12.19)
Рис.12.19.Параллельный перенос системы координат
В этом случае говорят, что одна система координат получается из другой "параллельным переносом".
Пусть начало
"новой" системы координат имеет в "старой" системе координат координаты
, и пусть
-- некоторая точка плоскости. Обозначим координаты точки
в "старой" системе координат
, а в "новой" --
. Из рис. 12.19 ясно, что
,
. Откуда
,
. Так как точка
взята произвольно, то индекс 0 в записи ее координат, как "старых", так и "новых", можно убрать. Получаем связь между "старыми" и "новыми" координатами точки при параллельном переносе осей координат:
![]() | (12.11) |
Выясним теперь, как связаны друг с другом уравнения одной и той же кривой в "старых" и "новых" координатах.
Предложение 12.6 Пусть некоторая кривая задана уравнением. Тогда в системе координат
, полученной параллельным переносом, с началом в точке
уравнение кривой будет иметь вид
.
Однако, для практического использования это предложение удобнее сформулировать немного подругому.
Предложение 12.7 Пусть некоторая кривая задана уравнением. Тогда в системе координат
, полученной параллельным переносом, с началом в точке
уравнение кривой будет иметь вид
.
Доказательство обоих предложений очевидным образом следует из формул (12.11) связи между старыми и новыми координатами.
Пример 12.7 Нарисуйте кривуюи найдите ее фокусы.
Решение. Выделим полные квадраты по переменными
(см. пример 12.1):
Откуда
Разделим обе части на 9:
Введем новую систему координат с началом в точке, получающуюся из старой параллельным переносом. По предложению 12.7 получим, что кривая задается уравнением
а это -- каноническое уравнение эллипса с полуосями 3 и 1. Сделаем рисунок (рис. 12.20).
Рис.12.20.Эллипс, заданный уравнением![]()
Из формулы (12.5). Поэтому фокусы в новой системе координат имеют координаты
,
. Используя формулы (12.11), находим старые координаты фокусов
,
. Таким образом, фокусами являются точки
,
.
Пример 12.8 Постройте параболу
найдите ее фокус и директрису.Решение. Преобразуем уравнение к видуи выделим полный квадрат по переменному
:
Из этого уравнения получим. Произведем параллельный перенос осей координат:
,
, новое начало координат --
. В новых координатах уравнение параболы примет вид
, которое тоже не является каноническим. Но если мы изменим направление оси ординат и переобозначим оси:
,
, то получим уравнение
. Это уравнение -- каноническое,
,
. Строим оси и параболу (рис. 12.21).
Рис.12.21.Парабола, заданная уравнением![]()
В системе координатфокус имеет координаты
, а директриса задается уравнением
. В системе координат
координаты фокуса --
, а уравнение директрисы
. Наконец, в исходной системе координат
получим фокус
и уравнение директрисы
, что и служит ответом к задаче.
Пример 12.9 Постройте кривую
Решение. Преобразуем уравнение к виду
![]() | (12.12) |
Возведем обе части в квадрат:
При этом появились новые точки, которые удовлетворяют последнему уравнению, но не удовлетворяют уравнению (12.12). Эти посторонние точки мы отбросим потом. Выделим полный квадрат по переменному:
то есть
Обе части разделим на 4 и произведем параллельный перенос системы координат:,
. Получим уравнение
которое является каноническим уравнением эллипса с полуосями: 2 и. Нарисуем его (рис. 12.22).
Рис.12.22.Эллипс, заданный уравнением![]()
Чтобы отбросить посторонние точки, возникшие при возведении в квадрат, преобразуем уравнение (12.12) к виду
Из этого уравнения видно, что. Поэтому от нарисованного ранее эллипса нужно оставить только левую половину (рис. 12.23).
Рис.12.23.Кривая, заданная уравнением![]()
Последний рисунок и является ответом к задаче.
Критерий Коши.
(необходимые и достаточные условия сходимости ряда)
Для того,
чтобы последовательность была сходящейся, необходимо и достаточно,
чтобы для любого
существовал
такой номер N, что при n > N и любом p > 0, где р – целое число, выполнялось
бы неравенство:
.
Доказательство. (необходимость)
Пусть ,
тогда для любого числа
найдется
номер N такой, что неравенство
выполняется при n>N. При n>N и любом целом p>0 выполняется также неравенство
. Учитывая оба неравенства, получаем:
Необходимость доказана. Доказательство достаточности рассматривать не будем.
Сформулируем критерий Коши для ряда.
Для того, чтобы ряд был сходящимся необходимо и достаточно, чтобы для любого
существовал номер N такой, что
при n>N и любом p>0 выполнялось бы неравенство
.
Однако, на практике использовать непосредственно критерий Коши не очень удобно. Поэтому как правило используются более простые признаки сходимости:
1)
Если ряд сходится, то необходимо, чтобы общий член un стремился
к нулю. Однако, это условие не является достаточным. Можно говорить только о том,
что если общий член не стремится к нулю, то ряд точно расходится. Например, так
называемый гармонический ряд
является расходящимся, хотя его общий член и стремится
к нулю.
Пример. Исследовать сходимость ряда
Найдем
- необходимый признак сходимости не выполняется, значит ряд расходится.
Если ряд сходится, то последовательность его частных сумм ограничена.
Однако, этот признак также не является достаточным.
Например, ряд 1-1+1-1+1-1+ … +(-1)n+1+… расходится, т.к. расходится последовательность его частных сумм в силу того, что
Однако, при этом последовательность частных сумм ограничена, т.к.
при любом n.
Что касается приемов вычисления определенных интегралов, то они практически
ничем не отличаются от всех тех приемов и методов, которые были рассмотрены выше
при нахождении неопределенных интегралов. Точно так же применяются методы подстановки
(замены переменной), метод интегрирования по частям, те же приемы нахождения первообразных
для тригонометрических, иррациональных и трансцендентных функций. Особенностью
является только то, что при применении этих приемов надо распространять преобразование
не только на подинтегральную функцию, но и на пределы интегрирования. Заменяя
переменную интегрирования, не забыть изменить соответственно пределы интегрирования.