Основные обозначения и определения

Всюду в тексте учебника мы будем использовать общепринятые обозначения, те, что используются и в школьных учебниках. В частности,
$ \mathbb{R}$ означает числовую прямую (множество всех вещественных чисел);
$ \mathbb{N}$ означает множество натуральных чисел $ \{1;2;3;4;\dots\}$;
$ \mathbb{Z}$ означает множество всех целых чисел $ \{\dots;-3;-2;-1;0;1;2;3;\dots\}$;
$ \varnothing $ означает пустое множество; по определению, в нём нет ни одного элемента;
$ [a;b]$, $ [a;b)$, $ (a;b]$ и $ (a;b)$, где $ a\in\mathbb{R}$, $ b\in\mathbb{R}$, соответственно,-- замкнутые, полуоткрытые и открытые промежутки: квадратная скобка означает, что соответствующий конец промежутка включается в множество, а круглая скобка-- что не включается;
$ (-\infty;b]$, $ (-\infty;b)$, $ (a;+\infty)$ и $ [a;+\infty)$, где $ a\in\mathbb{R}$, $ b\in\mathbb{R}$-- замкнутые и открытые лучи (бесконечные промежутки);
$ (-\infty;+\infty)$-- числовая прямая, то же, что и $ \mathbb{R}$;
$ A\cup B$-- пересечение (общая часть) множеств $ A$ и $ B$;
$ A\cap B$-- объединение множеств $ A$ и $ B$ (все точки из $ A$ и все точки из $ B$);
$ A\diagdown B$-- множество тех элементов из $ A$, которые не принадлежат $ B$;
$ A\sbs B$-- включение $ A$ в $ B$ ($ A$-- это часть $ B$);
$ x\in A$-- принадлежность элемента $ x$ множеству $ A$ ($ x$ принадлежит $ A$);
$ x\notin A$-- элемент $ x$ не принадлежит множеству $ A$;
$ \{a;b;\dots;z\}$-- множество, состоящее из элементов $ a,b,\dots,z$; в частности, $ \{a\}$-- множество из одного элемента $ a$;
$ \{x\in A: P(x)\}$-- множество всех тех элементов $ x$ из $ A$, для которых выполняется свойство $ P(x)$.

Определение 1.1 Пусть $ A$ и $ B$-- два произвольных множества. Функцией $ f$ из $ A$ в $ B$ называется соответствие между элементами множества $ A$ и множества $ B$, при котором каждому элементу $ x\in A$ сопоставляется какой-либо один элемент $ {y\in B}$. При этом $ y$ называется значением функции $ f$ на элементе $ x$, что записывается как $ {y=f(x)}$ или $ f:x\mapsto y$. Тот факт, что функция $ f$ переводит элементы $ x\in A$ в элементы $ y\in B$, записывается так: $ f:A\to B$. Множество $ A$ называется областью определения функции $ f$ и обозначается $ \mathcal{D}(f)$.

Рис.1.1.Множество $ A$ отображается функцией $ f$ в множество $ B$


Пример 1.1 Пусть в группе 20 студентов. Рассмотрим множество номеров $ {A=\{1;2;\dots;20\}}$ и множество $ B$-- множество фамилий, записанных русским алфавитом. Тогда соответствие $ f$, сопоставляющее каждому из номеров студентов в списке группы фамилию этого студента,-- это функция $ f:n\mapsto Ф$, где $ n$-- номер студента в группе (от 1 до 20) и $ Ф$-- фамилия этого студента. Поскольку фамилию имеет каждый студент, значение $ f(n)$ определено для всех $ n\in A$. Очевидно, однако, что далеко не все элементы множества $ B$-- множества всевозможных фамилий-- присутствуют в списке группы. Например, если в группе нет студента по фамилии Иванов, то элемент Иванов$ \in B$ не будет значением $ f(n)$ ни при каком $ n\in A$. Если же в группе есть однофамильцы по фамилии Петров, то при разных номерах $ n_1\in A$ и $ n_2\in A$ элемент Петров$ \in B$ будет значением функции $ f$, то есть $ f(n_1)=Петров$ и $ f(n_2)=Петров$.

На этом примере видно, что, во-первых, множество значений функции

$\displaystyle \mathcal{E}(f)=\{y\in B:\ y=f(x),\ x\in A\}$

не обязано совпадать со всем множеством $ B$, а может оказаться лишь его частью. Во-вторых, могут найтись такие $ x_1,x_2\in\mathcal{D}(f)$, что $ x_1\ne x_2$, но $ f(x_1)=f(x_2)$. В таком случае часто говорят, что элементы $ x_1$ и $ x_2$ склеиваются при отображении $ f$.

Определение 1.2 Если $ \mathcal{E}(f)=B$, то есть для любого элемента $ y\in B$ найдётся элемент $ x\in A$ такой, что $ f(x)=y$, то функция $ f$ называется отображением $ A$ на $ B$ (напомним, что в общем случае $ f$-- это отображение из $ A$ в $ B$). Отображение "на" также называют сюръективным отображением или сюръекцией.
Если для любых двух разных элементов $ x_1,x_2\in A$ ( $ x_1\ne x_2$) значения $ f(x_1),f(x_2)\in B$ тоже разные ( $ f(x_1)\ne f(x_2)$), то отображение $ f$ называется вложением множества $ A$ в множество $ B$, или инъективным отображением (инъекцией).

Пример 1.2 Пусть $ A=\mathbb{R}, B=[-1;1]$ и отображение $ f$ для $ x\in A$ задано формулой $ f(x)=\sin x$. Тогда $ f$-- сюръекция, так как любое число $ y$ из отрезка $ [-1;1]$ равно значению $ \sin x$ при некотором $ x$.

Рис.1.2.Все числа $ y\in[-1;1]$-- это значения функции $ \sin x$


Пример 1.3 Пусть $ A=\mathbb{R}, B=\mathbb{R}$ и отображение $ f:\mathbb{R}\to\mathbb{R}$ задано при $ x\in\mathbb{R}$ формулой $ f(x)=x^3$. Тогда отображение $ f$ одновременно является и сюръекцией, и инъекцией, так как
1) любое значение $ y\in\mathbb{R}$ есть значение $ x^3$ при некотором $ x$ (а именно, при $ x=\sqrt[3]{y}$);
2) никакие два разных значения $ x_1,x_2\in\mathbb{R}$ не могут дать одинаковых значений $ x_1^3=x_2^3$, так как из неравенства $ x_1<x_2$ следует неравенство $ x_1^3<x_2^3$.

Рис.1.3.Кубы разных чисел не совпадают


Определение 1.3 Отображение $ f:A\to B$, которое одновременно является и сюръекцией, и инъекцией, называется взаимно-однозначным соответствием между $ A$ и $ B$, или биекцией. Это означает, что каждому элементу $ x\in A$ сопоставляется ровно один элемент $ y\in B$, причём для каждого элемента $ y\in B$ имеется такой элемент $ x\in A$, который сопоставлен этому $ y$.

Замечание 1.1 Если отображение $ f:A\to B$-- вложение, то мы можем рассмотреть соответствие, которое устанавливает эта функция между элементами множества $ A$ и множеством значений функции $ \mathcal{E}(f)$, то есть частью множества $ B$. Пусть $ \mathcal{E}(f)=B'$. Тогда функция $ f$ устанавливает взаимно-однозначное соответствие между множествами $ A$ и $ B'$. (Более формально: функция $ f_1:A\to B'$, совпадающая с $ f$ при всех $ x\in A$,-- это биекция. В таких ситуациях, когда функции $ f$ и $ f_1$ имеют одну и ту же область определения $ A$ и их значения совпадают при всех $ x\in A$, мы в дальнейшем будем их обозначать одинаково, в данном случае-- буквой $ f$.)

Рис.1.4.Множество $ \mathcal{D}(f)$ взаимно-однозначно отображается на множество $ \mathcal{E}(f)$


Пример 1.4 При сдаче пальто в гардероб каждому сданному пальто $ p$ соответствует ровно один выданный номерок $ n$. Таким образом, между множеством $ P$ сданных пальто и множеством выданных номерков $ N'$ ($ N'$-- это подмножество множества $ N$ всех номерков в гардеробе) устанавливается биекция $ f: p\mapsto n$ ($ p\in P$, $ n\in N'$).

Определение 1.4 Если $ f:A\to B$-- биекция, то отображение, сопоставляющее каждому $ y\in B$ тот элемент $ x\in A$, который переходит в этот самый $ y$ при отображении $ f$, называется обратным отображением (или обратной функцией) к отображению $ f$ и обозначается $ f^{-1}$. Таким образом, $ f^{-1}:B\to A$, и $ f^{-1}(y)=x$ тогда и только тогда, когда $ f(x)=y$ ($ x\in A$, $ y\in B$).

Пример 1.5 В условиях примера 1.4 отображение $ f:P\to N'$-- биекция. При выдаче пальто из гардероба по каждому из выданных номерков $ n\in N'$ находят соответствующее номерку пальто $ p\in P$. Соответствие $ g:N'\to P$, $ n\mapsto p$ ($ n\in N'$, $ p\in P$)-- это обратная функция к функции $ f:P\to N'$, $ p\mapsto n$, то есть $ g=f^{-1}$.

Очевидно, что в случае, если $ f:A\to B$-- биекция и $ f^{-1}$-- обратная к $ f$ функция, то $ f^{-1}(f(x))=x$ для всех $ x\in A$ и $ f(f^{-1}(y))=y$ для всех $ y\in B$. Последнее равенство показывает, что $ (f^{-1})^{-1}=f$ и что функции $ f$ и $ f^{-1}$ взаимно обратны. (То есть если $ g$-- функция, обратная к $ f$, то $ f$-- функция, обратная к $ g$.)

Рис.1.5.Функции $ f$ и $ f^{-1}$ взаимно обратны


Итак, для того чтобы функция $ f:A\to B$ имела обратную функцию $ f^{-1}:B\to A$, функция $ f$ должна быть биекцией, то есть устанавливать взаимно-однозначное соответствие между $ A$ и $ B$. Тогда обратная функция $ f^{-1}$ устанавливает взаимно-однозначное соответствие между $ B$ и $ A$.

Пример 1.6 Функция $ f:[0;+\infty)\to[0;+\infty)$, заданная формулой $ y=f(x)=x^2$,-- это биекция. Обратная к ней функция-- это квадратный корень: $ x=f^{-1}(y)=\sqrt{y}$.

Рис.1.6.Функции $ y=x^2$ и $ x=\sqrt{y}$-- взаимно обратны


В математическом анализе основную роль играют такие функции $ f$, у которых значениями служат вещественные числа, то есть $ \mathcal{E}(f)\sbs\mathbb{R}$. Такие функции $ f$ называются числовыми. Функции примеров 1.2, 1.3, 1.6-- числовые. Функции примеров 1.1, 1.4 числовыми не являются.

А вот пример числовой функции, область определения которой, в отличие от предыдущих примеров числовых функций, не лежит на числовой прямой.

Пример 1.7 Пусть $ A$-- множество всевозможных отрезков $ CD$, расположенных в (трёхмерном) пространстве, концы которых (точки $ C$ и $ D$) не совпадают. Пусть соответствие $ f$ сопоставляет каждому такому отрезку $ CD$ его длину $ f(CD)=\vert CD\vert$. Так как длина отрезка-- число, то $ f$-- числовая функция, $ f:A\to\mathbb{R}$. Легко видеть, что область её значений состоит из всех положительных чисел: $ \mathcal{E}(f)=\{y\in\mathbb{R}: y>0\}$.

Замечание 1.2 В первых главах учебника мы ограничимся в основном такими числовыми функциями $ f$, область определения которых $ \mathcal{D}(f)$ также является подмножеством числовой прямой $ \mathbb{R}$, то есть такими функциями $ f:A\to B$, где $ A\sbs\mathbb{R}$ и $ B\sbs\mathbb{R}$. Такие функции называются числовыми функциями одного переменного. В дальнейшем (во втором семестре) мы будем также изучать функции, зависящие от нескольких вещественных переменных, то есть функции, область определения которых-- подмножество в пространстве $ \mathbb{R}^n$, равном прямому произведению $ n$ экземпляров множества $ \mathbb{R}$ (определение прямого произведения нескольких множеств мы дадим ниже).

Определение 1.5 Графиком функции $ f:A\to B$ называется множество пар $ (x;y)$ элементов $ x\in A$ и $ y\in B$, такое, что в каждой паре $ (x;y)$ второй элемент $ y$-- это значение функции $ f(x)$, соответствующее первому элементу пары, то есть $ x$.
Рассмотрим множество всевозможных пар $ (x;y)$, где $ x\in A$, $ y\in B$. Это множество всевозможных пар называется прямым произведением множества $ A$ на множество $ B$ и обозначается $ A\times B$.

Ясно, что график $ {\Gamma}_f$ функции $ f$-- это подмножество прямого произведения $ A\times B$:

$\displaystyle {\Gamma}_f=\{(x;y)\in A\times B: y=f(x)\}\sbs A\times B.$

В некоторых из рассмотренных выше примеров функций были приведены на рисунках графики этих функций. График примера 1.2-- подмножество в $ \mathbb{R}\times[-1;1]$; график примера 1.3-- подмножество в $ \mathbb{R}\times\mathbb{R}=\mathbb{R}^2$; оба графика примера 1.6-- подмножества в $ \mathbb{R}_+\times\mathbb{R}_+=\mathbb{R}_+^2$ (здесь мы ввели обозначение $ \mathbb{R}_+=[0;+\infty)$, которого будем придерживаться и далее).

Пример 1.8 Пусть $ A$-- круг радиуса 1 (включая окружность радиуса 1-- границу круга) на числовой плоскости $ \mathbb{R}^2$ с координатами $ x_1$ и $ x_2$, с центром в точке $ O(0;0)$. Функцию $ f$ в любой точке круга зададим как расстояние от этой точки $ (x_1;x_2)$ до центра. Таким образом, $ f(x)=\sqrt{x_1^2+x_2^2}$, где $ x=(x_1;x_2)\in A\sbs R^2$.
Графиком $ {\Gamma}_f$ этой функции является подмножество прямого произведения $ A\times\mathbb{R}$. Это прямое произведение-- бесконечный цилиндр с круговым сечением, находящийся в пространстве $ \mathbb{R}^2\times\mathbb{R}=\mathbb{R}^3$. Обозначим координаты точек в $ \mathbb{R}^3$ через $ x_1,x_2,y$. Тогда графику $ {\Gamma}_f$ принадлежат те точки, для которых выполнены соотношения $ y=\sqrt{x_1^2+x_2^2}$ и $ x_1^2+x_2^2\leqslant 1$.
Множество $ Г_f$ представляет собой кусок конической поверхности с вершиной в точке $ (0;0;0)$, с высотой 1 и радиусом основания 1.


Рис.1.7.График расстояния до точки $ O$-- это конус


Как мы видим, в случае, когда $ A$-- подмножество плоскости $ \mathbb{R}^2$, график числовой функции $ f:A\to\mathbb{R}$-- это подмножество точек пространства $ \mathbb{R}^3$. Если же $ A$-- подмножество точек пространства $ \mathbb{R}^3$, то графиком числовой функции $ f:A\to\mathbb{R}$ будет подмножество $ {\Gamma}_f$ четырёхмерного пространства, точнее, его подмножества $ A\times\mathbb{R}\sbs\mathbb{R}^3\times\mathbb{R}=\mathbb{R}^4$. В связи с этим, изобразить график такой функции на чертеже не представляется возможным, хотя, конечно, можно постараться как-то этот график $ {\Gamma}_f$ описать каким-то иным способом.

Пример 1.9 Пусть $ A=\mathbb{R}^3$ и для каждой точки $ x=(x_1;x_2;x_3)\in\mathbb{R}^3$ значение функции $ f$ в этой точке-- это квадрат расстояния от $ x$ до точки $ O(0;0;0)$, то есть $ f(x)=x_1^2+x_2^2+x_3^2=\vert x\vert^2$. Тогда график $ {\Gamma}_f$-- это подмножество в $ \mathbb{R}^4$:
$\displaystyle {\Gamma}_f=\{(x_1,x_2,x_3,y)\in\mathbb{R}^4: y=x_1^2+x_2^2+x_3^2\}.$
Изобразить этот график, то есть нарисовать трёхмерную поверхность, расположенную в четырёхмерном пространстве, мы уже не в состоянии, однако формула $ y=x_1^2+x_2^2+x_3^2$ позволяет изучать этот график. Например, можно заметить, что двумерное сечение этого графика плоскостью $ \{(x_1,x_2,x_3,y)\in\mathbb{R}^4: x_2=0, x_3=0\}$-- это парабола $ y=x_1^2$ в плоскости $ x_1Oy$, а сечение трёхмерным пространством $ \{(x_1,x_2,x_3,y)\in\mathbb{R}^4:y=0\}$-- это одна точка $ (0;0;0;0)$.

Наибольший интерес с точки зрения наглядности представляют графики числовых функций одного переменного. Изучению поведения таких функций и построению их графиков будет уделено основное внимание в следующих главах.

Как мы видим из приведённых выше примеров, способы эти могут быть самые разные, от словесно-описательного в примерах 1.1, 1.4 до задания функции формулой вида $ {y=f(x)}$ в примерах 1.2, 1.3, 1.6, 1.8, 1.9. Способ задания функции $ f:A\to B$ зависит от того, какова природа множеств $ A$ и $ B$ и как по заданному $ x\in A$ определяется $ {y=f(x)\in B}$. Выделим основные из этих способов.

Первообразная и неопределённый интеграл.

Первообразная функция.

 Определение: Функция F(x) называется первообразной функцией функции f(x) на отрезке [a, b], если в любой точке этого отрезка верно равенство:

F¢(x) = f(x).

 Надо отметить, что первообразных для одной и той же функции может быть бесконечно много. Они будут отличаться друг от друга на некоторое постоянное число.

F1(x) = F2(x) + C.

Неопределенный интеграл.

 Определение: Неопределенным интегралом функции f(x) называется совокупность первообразных функций, которые определены соотношением:

F(x) + C.

Записывают:

 Условием существования неопределенного интеграла на некотором отрезке является непрерывность функции на этом отрезке.

 Свойства:

1.

2.

3.

4.   где u, v, w – некоторые функции от х.

Пример:

 

 Интеграл

 Значение

 Интеграл

 Значение

1

 -ln½cosx½+C

9

 ex + C

2

 ln½sinx½+ C

10

 sinx + C

3

 

11

 -cosx + C

4

 

12

 tgx + C

5

13

 -ctgx + C

6

ln

14

 arcsin + C

7

15

8

 

16

 

Что касается приемов вычисления определенных интегралов, то они практически ничем не отличаются от всех тех приемов и методов, которые были рассмотрены выше при нахождении неопределенных интегралов. Точно так же применяются методы подстановки (замены переменной), метод интегрирования по частям, те же приемы нахождения первообразных для тригонометрических, иррациональных и трансцендентных функций. Особенностью является только то, что при применении этих приемов надо распространять преобразование не только на подинтегральную функцию, но и на пределы интегрирования. Заменяя переменную интегрирования, не забыть изменить соответственно пределы интегрирования.