Инженерная графика
Физика
Атомные станции
Строймех
ТКМ
Начертательная геометрия
Экология энергетики
Сопромат
Готика
Черчение
Теплотехника
Математика

Театр

Конспект лекций
Атомная энергетика
Карта
Маникюр для девочек. Маникюр детский для девочек nailsmasters.ru.

Матрицы, Комплексные числа примеры задачи математика

Определение, обозначения и типы матриц

        Определение 14.1   Матрицей размеров $ m\times n$ называется прямоугольная таблица чисел, содержащая $ m$ строк и $ n$ столбцов. Числа, составляющие матрицу, называются элементами матрицы.        

Обычно принято обозначать матрицы большими буквами, а саму таблицу чисел заключать в круглые скобки. Например, $ A=\left(\begin{array}{rrr}3&1&9\\ 4&-1&0.7\end{array}\right)$  -- матрица размеров $ 2\times 3$ , $ B=\left(\begin{array}{r}0\\ 0\\ 0\end{array}\right)$  -- матрица размеров $ 3\times 1$ , или другими словами, матрица-столбец, $ C=\left(\begin{array}{rrrr}1&-1&2&4\end{array}
\right)$  -- матрица размеров $ 1\times 4$ , или матрица-строка. Независимость криволинейных интегралов от пути интегрирования Пример Вычислить криволинейный интеграл для двух путей интегрирования: Решение задач на вычисление интеграла Математика лекции, задачи. Примеры выполнения курсового и типового задания

Иногда вместо круглых скобок в записи матрицы используют квадратные или двойные прямые линии. Например, $ \left[\begin{array}{rr}3&2\\ 1&4\\ 1&0\end{array}\right]$ или $ \left\Vert\begin{array}{rr}1&2\\ -\pi&e\end{array}\right\Vert$ .

Если элементы матрицы обозначаются буквами, то для этого обозначения используется та же буква, что и для обозначения матрицы, только не большая, а малая, и эта буква снабжается двумя индексами. Например, матрицу размеров $ m\times n$ можно записать в виде

$\displaystyle A=\left(\begin{array}{cccc}a_{11}&a_{12}&\dots&a_{1n}\\ a_{21}&a_...
...2n}
\\ \dots&\dots&\dots&\dots\\ a_{m1}&a_{m2}&\dots&a_{mn}\end{array}\right).$
В этой записи $ a_{ij}$ означает, что элемент находится в строке с номером $ i$ и столбце с номером $ j$ , то есть первый индекс указывает номер строки, а второй -- номер столбца. Например, в матрице
$\displaystyle B=\left(\begin{array}{rrrr}3&2&-1&-2\\ 4&-4&0.7&0\\ 0.2&\sqrt2&\sqrt3&-\sqrt3\end{array}
\right)$
$ b_{32}=\sqrt2$ , $ b_{24}=0$ .

Наряду с указанным обозначением элементов матрицы используется также обозначение $ a_j^i$ , в котором номер строки указывает верхний индекс, а номер столбца -- нижний.

Укажем основные типы матриц.

Если число строк матрицы равно числу столбцов, то матрица называется квадратной. Число строк или, что то же самое, число столбцов в ней называется порядком матрицы.

Если все элементы матрицы равны нулю, то матрица называется нулевой. Нулевая матрица обозначается обычной цифрой 0. Как правило, из контекста ясно, является ли этот 0 числом или матрицей.

Совокупность элементов квадратной матрицы, расположенных на отрезке, соединяющем левый верхний угол с правым нижним, называется главной диагональю матрицы. Например, в матрице $ B=\left(\begin{array}{rrr}1&-2&1\\ 0&3&-2\\
1&0&-4\end{array}\right)$ главную диагональ образуют числа $ \{1;3;-4\}$ . Отметим, что при обозначении элементов матрицы буквами с двумя индексами у элементов главной диагонали и только у них индексы будут равны друг другу. Так у квадратной матрицы $ A$ порядка $ n$ элементами главной диагонали являются элементы $ a_{ii}$ , $ i=1,2,\dots,n$ .

Квадратная матрица, у которой все элементы вне главной диагонали равны нулю, называется диагональной. Примеры диагональных матриц:

$\displaystyle A=\left(\begin{array}{rrr}2&0&0\\ 0&-1&0\\ 0&0&0.7\end{array}\right),\quad B=\left(\begin{array}{rr}0&0\\ 0&1\end{array}\right).$

Квадратная матрица называется верхней треугольной (нижней треугольной), если все ее элементы, стоящие ниже (выше) главной диагонали, равны нулю. Например, верхние треугольные матрицы:

$\displaystyle \left(\begin{array}{rrr}1&1&-2\\ 0&2&0\\ 0&0&4\end{array}\right),\quad\left(\begin{array}{rr}2&1\\ 0&3\end{array}\right).$
Нижние треугольные матрицы:
$\displaystyle \left(\begin{array}{rrr}2&0&0\\ 1&0&0\\ 0&0&4\end{array}\right),\quad\left(\begin{array}{rr}0&0\\ -1&0\end{array}\right).$
Верхняя треугольная матрица иногда называется правой треугольной, а нижняя треугольная -- левой треугольной.

Единичной матрицей называется диагональная матрица, у которой все элементы главной диагонали равны 1. Для обозначения единичной матрицы обычно используется буква $ E$ . Порядок матрицы при этом обычно ясен из контекста. Например, $ {E=\left(\begin{array}{rrr}1&0&0\\ 0&1&0\\ 0&0&1\end{array}\right)}$  -- единичная матрица третьего порядка.

Из определения единичной матрицы видно, что ее элементы $ e_{ij}$ равны нулю, если индексы различны, и равны 1, если индексы совпадают. В математике таким свойством обладает величина $ {\delta}_j^i$ , называемая символом Кронекера:

$\displaystyle {\delta}_j^i=\left\{\begin{array}{ll}0&\mbox{при }i\ne j,\\ 1&\mbox{при }i=j.\end{array}\right.$
Поэтому $ e_{ij}={\delta}_j^i$ .

Две матрицы называются равными, если они имеют одинаковые размеры и элементы, стоящие на одинаковых местах, равны друг другу.