Строймех
Сопромат
Математика

Театр

Карта

Системы линейных уравнений, Линейные пространства и преобразования Линейные уравнения

Системы линейных уравнений

        Определение 15.1   Системой $ m$ линейных уравнений с $ n$ неизвестными называется система уравнений вида
$\displaystyle \left\{\begin{array}{l}a_{11}x_1+a_{12}x_2+\ldots+a_{1n}x_n=b_1,\...
...ots\ldots\ldots\\ 
 a_{m1}x_1+a_{m2}x_2+\ldots+a_{mn}x_n=b_m.\end{array}\right.$ (15.1)
 

Система уравнений называется однородной, если $ {b_1=b_2=\ldots=b_m=0}$ и неоднородной в противном случае.         

Систему (15.1) можно записать также в виде

$\displaystyle a_{i1}x_1+a_{i2}x_2+\ldots+a_{in}x_n=b_i,\quad i=1,2,\dots,m,$

или в виде

$\displaystyle \sum_{j=1}^na_{ij}x_j=b_i,\quad i=1,2,\dots,m.$

Но наиболее удобной формой записи системы (15.1) является матричная запись. Введем следующие матрицы: матрица системы $ A$ , столбец неизвестных $ x$ и столбец свободных членов $ b$ ,

$\displaystyle A=\left(\begin{array}{cccc}a_{11}&a_{12}&\dots&a_{1n}\\
a_{21}&...
...ht),
\quad b=\left(\begin{array}{c}b_1\\ b_2\\ \vdots\\ b_m\end{array}\right).$

Читатель, выполнив матричное умножение, легко проверит, что с помощью введенных обозначений систему (15.1) можно записать в виде

$\displaystyle Ax=b.$ (15.2)
 


        Определение 15.2   Решением системы (15.1) называется любой набор чисел $ {{\alpha}_1,\,{\alpha}_2,\dots,{\alpha}_n}$ , которые при подстановке в систему вместо неизвестных $ {x_1,\,x_2,\dots,x_n}$ превращают все уравнения системы в верные равенства.

Решением системы (15.2) называется столбец чисел $ \left(\begin{array}{c}{\alpha}_1\\
{\alpha}_2\\ \vdots\\ {\alpha}_n\end{array}\right)$ , который после подстановки в уравнение вместо столбца $ x$ превращает уравнение (15.2) в верное матричное равенство.         

Примеры.

1. Если , то матрица  состоит из одного элемента, т.е. . Тогда .

2. Если , то =. Формула для определителя в этом случае содержит 2!=2  слагаемых, соответствующих тождественной перестановке e=, e()=1, и перестановке p=, e(p)=-1. Получаем

.

3. Если , то =. В этом формула для определителя содержит 3!=6 слагаемых, соответствующих перестановкам s0=, e(s0)=1, s1=, e(s1)=-1, s2=, e(s2)=1, s3=, e(s3)=-1, s4=, e(s4)=1, s5=, e(s5)=-1. Получаем

т.е.,

.

Слагаемые с положительными и отрицательными коэффициентами запоминаются по правилу Саррюса; а именно,

 

Примеры.

1) =14−3(-2)=10

2) =

=3−8+6−2=−1

3)  =111=1 => det En=1 "n

4) =

 5) =?

6) =

 7) =

Для определителей порядка большего 3 нет единых правил вычисления и, как правило, такие определители вычисляют с использованием свойств определителя.