Системы линейных уравнений, Линейные пространства и преобразования Линейные уравнения

Однородная система уравнений

        Предложение 15.2   Однородная система уравнений
$\displaystyle \left\{\begin{array}{l}a_{11}x_1+a_{12}x_2+\ldots+a_{1n}x_n=0,\\ ...
...\ldots\ldots\ldots\\ 
 a_{m1}x_1+a_{m2}x_2+\ldots+a_{mn}x_n=0\end{array}\right.$(15.7)

всегда является совместной.

        Доказательство.    Для этой системы набор чисел $ {x_1=0}$ , $ {x_2=0}$ , $ \dots$ , $ {x_n=0}$ является решением.     

В этом разделе мы будем использовать матричную запись системы: $ {Ax=0}$ .

        Предложение 15.3   Сумма решений однородной системы линейных уравнений является решением этой системы. Решение, умноженное на число, тоже является решением.

Числовая последовательность

        Доказательство.     Пусть $ c$ и $ d$ служат решениями системы $ {Ax=0}$ . Тогда $ {Ac=0}$ и $ {Ad=0}$ . Пусть $ {g=c+d}$ . Тогда

$\displaystyle Ag=A(c+d)=Ac+Ad=0+0=0.$

Так как $ Ag=0$ , то $ g$  -- решение.

Пусть $ {\alpha}$  -- произвольное число, $ {h={\alpha}c}$ . Тогда

$\displaystyle Ah=A({\alpha}c)={\alpha}(Ac)={\alpha}\cdot 0=0.$

Так как $ Ah=0$ , то $ h$  -- решение.     

        Следствие 15.1   Если однородная система линейных уравнений имеет ненулевое решение, то она имеет бесконечно много различных решений.

Действительно, умножая ненулевое решение на различные числа, будем получать различные решения.    

        Определение 15.5   Будем говорить, что решения $ {x^{(1)},x^{(2)},\ldots,x^{(k)}}$ системы $ {Ax=0}$ образуют фундаментальную систему решений, если столбцы $ {x^{(1)},x^{(2)},\ldots,x^{(k)}}$ образуют линейно независимую систему и любое решение системы является линейной комбинацией этих столбцов.         
        Определение 15.6   Пусть $ {x^{(1)},x^{(2)},\ldots,x^{(k)}}$  -- фундаментальная система решений однородной системы $ {Ax=0}$ . Тогда выражение
$\displaystyle x=C_1x^{(1)}+C_2x^{(2)}+\ldots+C_kx^{(k)},$
где $ {C_1,C_2,\dots,C_k}$  -- произвольные числа, будем называть общим решением системы $ {Ax=0}$ .         

Из определения фундаментальной системы решений следует, что любое решение однородной системы может быть получено из общего решения при некоторых значениях $ {C_1,C_2,\dots,C_k}$ . И наоборот, при любых фиксированных числовых значениях $ {C_1,C_2,\dots,C_k}$ из общего решения получим решение однородной системы.

Как находить фундаментальную систему решений мы увидим позже, в разделе "Алгоритм нахождения решений произвольной системы линейных уравнений (метод Гаусса)".

        Теорема 15.3   Пусть $ {x^{(1)},x^{(2)},\ldots,x^{(k)}}$  -- фундаментальная система решений однородной системы $ {Ax=0}$ . Тогда $ {{\rm Rg}A+k=n}$ , где $ n$  -- число неизвестных в системе.    

Доказательство читатель может найти, например, в [1].

Теорема о базисном миноре матрицы.

1°. Линейная зависимость строк матрицы.

Пусть P – поле.

Def1 Будем говорить, что строка B=(b1, …, bn) bi Є P является линейной комбинацией строк A1=(a11, …, a1n,), …, Ak=(k1, …, akn,), aij Є P, если для некоторых α1,…, αk Є P справедливо

bj=α1aij + … + αkj, j=1, …, n. (1)

Это равенство удобно записать в матричном виде:

B=α1A1+ … + αkAk. (1’)

Def2 Строки A1=(a11, …, a1n,), …, Ak=(k1, …, akn,) назовем линейно зависимыми, если  такие  одновременно не равные нулю, такие что

Строки, не являющиеся линейно зависимыми, являются линейно независимыми. Иными словами, A1, …, Ak – линейно независимы, если равенство  возможно лишь когда

Теорема 1: Строки A1, …, Ak – линейно зависимы одна из этих строк является линейной комбинацией остальных.

Док-во:

но

2°. Теорема о базисном миноре.

Рассмотрим матрицу A Є Pm, n, где P-поле матрицы размера m·n

Def3 Число r 0 называется рангом матрицы A, если

1) минор порядка r, отличный от нуля.

2) Все миноры (r+1)-го порядка равны нулю.

Т.о., рангом матрицы называется порядок наибольшего отличного от нуля минора.

Минор r-го порядка, отличный от нуля, называется базисным минором, строки и столбцы, на пересечении которых находится базисный минор, называются базисными строками и базисными столбцами.

Теорема 2(теорема о базисном миноре): Базисные строки (столбцы) линейно независимы. Любая строка (любой столбец) матрицы A является линейной комбинацией базисных строк (базисных столбцов).

Док-во (Рассуждение для строк):

Покажем, что базисные строки линейно независимы

Если первая, например, строка – линейная комбинация остальных, то вычитая в базисном миноре из первой строки линейную комбинацию остальных, получим нулевую строку базисный минор нулевой – противоречие.

 Докажем, что  строка A является линейной комбинацией остальных. Т.к. при переменах строк и столбцов определитель сохраняет свойство равенства (неравенства) нулю, то будем считать, что базисный минор составлен из первых r строк и r столбцов.

  Рассмотрим определитель (r+1) порядка

Здесь Если то две одинаковые строки или столбца и определитель равны нулю. то это минор порядка r+1  равен нулю. Итак определитель равен нулю  k и j.

 Разложим его по r+1 столбцу. Отметим, что

 и коэффициенты Aij не зависят от выбора j, т.е.

  что означает, что k-ая строка является линейной комбинацией первых r.

Теорема 3 (необходимое и достаточное условие равенству нулю определителя)

Определитель n-го порядка равен нулю  его строки (столбцы) линейно зависимы.

Док-во:

  базисный минор имеет порядок < n хотя бы одна строка не базисная  (по т.2) она линейная комбинация базисных строк все остальные строки можно включить с нулями  одна строка линейная комбинация остальных.

Свойства определителей.

 

Что касается приемов вычисления определенных интегралов, то они практически ничем не отличаются от всех тех приемов и методов, которые были рассмотрены выше при нахождении неопределенных интегралов. Точно так же применяются методы подстановки (замены переменной), метод интегрирования по частям, те же приемы нахождения первообразных для тригонометрических, иррациональных и трансцендентных функций. Особенностью является только то, что при применении этих приемов надо распространять преобразование не только на подинтегральную функцию, но и на пределы интегрирования. Заменяя переменную интегрирования, не забыть изменить соответственно пределы интегрирования.