Строймех
Сопромат
Математика

Театр

Карта

Системы линейных уравнений, Линейные пространства и преобразования Линейные уравнения

Структура решений неоднородной системы линейных уравнений

Систему неоднородных уравнений запишем в матричном виде $ {Ax=b}$ , где матрица $ A$ имеет размеры $ {m\times n}$ .

        Предложение 15.4   Пусть $ c$ и $ d$  -- решения неоднородной системы $ {Ax=b}$ . Тогда их разность $ {g=c-d}$ является решением однородной системы с той же матрицей, то есть решением системы $ {Ax=0}$ .

        Доказательство.     По условию $ {Ac=b}$ и $ {Ad=b}$ . Тогда

$\displaystyle Ag=A(c-d)=Ac-Ad=b-b=0.$

Так как $ {Ag=0}$ , то $ g$  -- решение однородной системы.     

        Предложение 15.5   Пусть $ c$  -- решение неоднородной системы $ {Ax=b}$ , $ g$  -- любое решение однородной системы $ {Ax=0}$ . Тогда $ {d=c+g}$  -- решение неоднородной системы.    

Доказательство предоставляется читателю.

        Определение 15.7   Пусть $ x^{(0)}$  -- некоторое решение неоднородной системы линейных уравнений $ {Ax=b}$ , $ z$  -- общее решение однородной системы $ {Ax=0}$ . Тогда выражение $ {x=x^{(0)}+z}$ называется общим решением неоднородной системы.         

Учитывая запись общего решения однородной системы через фундаментальную систему ее решений $ {x^{(1)},x^{(2)},\ldots,x^{(k)}}$ , получаем для общего решения неоднородной системы формулу

$\displaystyle x=x^{(0)}+C_1x^{(1)}+C_2x^{(2)}+\ldots+C_kx^{(k)}.$

Из двух последних предложений следует, что любое решение неоднородной системы может быть получено из общего решения при некоторых числовых значениях коэффициентов $ {C_1,C_2,\dots,C_k}$ .

        Теорема 15.4   Система линейных уравнений $ {Ax=b}$ может иметь либо бесконечно много решений, либо одно решение, либо не иметь решений.

        Доказательство.     Пусть система имеет решение $ x^{(0)}$ . Если однородная система $ {Ax=0}$ имеет только одно решение, то из формулы общего решения будет следовать, что $ x^{(0)}$  -- единственное решение неоднородной системы. Если однородная система имеет хотя бы одно ненулевое решение, то ее фундаментальная система решений будет состоять не менее, чем из одного решения. В формуле общего решения неоднородной системы будет произвольный коэффициент $ C_1$ , и при различных его значениях мы будем получать различные решения неоднородной системы.     

Линейно зависимые и линейно независимые системы векторов

Это понятие является обобщением понятия линейной зависимости строк.

Определение 2. Линейной комбинацией векторов  с коэффициентами  называется выражение вида: .

Определение 3. Вектора  называются линейно независимыми, если , из которых хотя бы одно отлично от нуля, т.е. линейная комбинация  с этими  является нулевым вектором V, т.е. . Вектора , не являющиеся линейно зависимыми, называются линейно независимыми. Другими словами,  называются линейно независимыми, если их линейная комбинация является нулевым элементом V лишь при условии, что

Теорема 1.

1) Для того, чтобы элементы  были линейно зависимы, необходимо и достаточно, чтобы один из этих элементов был линейной комбинацией остальных.

2) Если среди  один элемент нулевой, то они линейно зависимы.

3) Если часть элементов множества  линейно зависима, то и все элементы линейно зависимы.

Доказательство. 1о Аналогично доказательству из §8.

2о Если    и  – любое, например,    линейно зависимы.

3о Если  – линейно зависимы, то  одновременно неравные нулю, так что    и хотя бы одно из  отлично от нуля   линейно зависимы. ч.т.д.

Пример. Рассмотрим линейное пространства  и докажем, что n элементов из  вида , ,…,  линейно независимы, а добавление еще одного элемента  приводит к линейно зависимой системе. Действительно, рассмотрим линейную комбинацию  с . Имеем . Вектор справа равен нулю, если все , т.е.  – линейно независимы.

Добавим . Тогда по теореме 1, п. 1о, достаточно показать, что x – линейная комбинация . Действительно,

3о. Базис линейного пространства и координаты вектора в базисе.

Def 5. Совокупность векторов  называют базисом в , если

1о. вектора  – линейно независимы;

2о. для  найдутся  . (1)

При этом равенство (1) называется разложением элемента  по базису , а  называются координатами  относительно базиса .

Теорема 2 (о единственности разложения по базису). Любой элемент  может быть единственным образом разложен по базису , т.е. координаты вектора относительно базиса определяются однозначно.

Доказательство. Пусть  и . Тогда . В силу линейной независимости   . ч.т.д.

Теорема 3 (операции над векторами, заданными своими координатами). При сложении любых двух векторов  и  их координаты (относительно любого фиксированного базиса в ) складываются; при умножении  на , все координаты вектора умножаются на это число.

Доказательство. Пусть  - базис в , , . Тогда в силу аксиом линейного пространства , . В силу единственности разложения по базису  что теорема доказана.

Примеры. 1о. Базис в  - любое ненулевое число.

2о. . Базис образуют матрицы , , …,  с одним единичным элементом.

3о.   – множество многочленов степени не выше n. Базис: , , …, .

4о.   – см. выше.

4о. Размерность линейного пространства.

Def 6. Линейное пространство  называется n-мерным, если

1о. В нем  n линейно независимых векторов.

2о.   векторов линейно зависимы.

Тогда n называется размерностью  и обозначается .

Def 7. Линейное пространство называется бесконечномерным, если в нем  любое число линейно независимых векторов.

Выясним связь между понятием базиса и размерности линейного пространства.

Теорема 4. Если  – линейное пространство размерности n, то  линейно независимых векторов этого пространства образуют его базис.

Доказательство. Пусть  – система n линейно независимых векторов из . Если  - любой вектор из , то по Def 6, вектора  – линейно зависимы, т.е.

и среди  есть хотя бы одно отличное от нуля. Очевидно, что   (т. к. иначе  – линейно зависимы)

, т.е.

 – линейная комбинация   т. к.  – произвольный, то  –базис.

Теорема  5. Если  имеет базис, состоящий из n элементов, то .

Доказательство. Пусть  – базис в . Достаточно показать, что  векторов  линейно зависимы. Разложим их по базису:

,

,

где .

Очевидно, что линейная зависимость векторов  эквивалентна линейной зависимости строк матрицы

.

Но строки этой матрицы заведомо линейно зависимы, т. к. порядок базисного минора не превосходит n и хотя бы одна из  строк не является базисной, и по теореме о базисном миноре представляет собой линейную комбинацию базисных строк (а стало быть и остальных).

Примеры. 1о. . 2о. . 3о. . 4о. . 5о. .