Строймех
Сопромат
Математика

Театр

Карта

Системы линейных уравнений, Линейные пространства и преобразования Линейные уравнения

Кольца

В этом разделе мы будем предполагать, что на множестве заданы две различные операции. Одну из них мы назовем "сложением" и будем обозначать знаком "+", а другую будем называть "умножением" и записывать в виде $ a\cdot b$ или $ ab$ .

        Определение 16.2   Непустое множество $ \mathcal{K}$ , на котором заданы две операции: сложение и умножение, будем называть кольцом, если выполнены следующие требования:
  1. по отношению к операции сложения множество $ \mathcal{K}$ является абелевой группой;
  2. для любых $ a,\,b,\,c$ из $ \mathcal{K}$ выполнено $ a(bc)=(ab)c$ (ассоциативность умножения);
  3. для любых $ a,\,b,\,c$ из $ \mathcal{K}$ выполнено $ (a+b)c=ac+bc$ , $ a(b+c)=ab+ac$ (дистрибутивность умножения);
        

Если умножение является коммутативной операцией, то кольцо называется коммутативным. Примерами коммутативных колец служат:

  1. множество целых чисел;
  2. множество вещественных чисел;
  3. множество многочленов;
  4. множество функций, непрерывных на отрезке $ [a;b]$ .

Некоммутативным кольцом является множество квадратных матриц порядка $ n$ с обычными операциями сложениия и умножения матриц.

Рассмотрим пример кольца, содержащего конечное число элементов.

        Пример 16.5   Пусть $ \mathcal{K}$ -- множество, содержащее $ n$ элементов. Чтобы не вводить дополнительные обозначения, будем считать, что эти элементы являются числами 0, 1, 2,..., $ n-1$ .
Обозначим $ {\rm mod}\,(k,n)$ , при $ k\geqslant 0$ , остаток от деления числа $ k$ на число $ n$ . Операцию сложения на множестве $ \mathcal{K}$ определим следующим образом: для любых $ a$ , $ b$ из $ \mathcal{K}$
$\displaystyle a+b={\rm mod}\,(a+b,n),$
где в левой части стоит сложение на множестве $ \mathcal{K}$ , а в правой части под знаком $ ''{\rm mod}\,''$ стоит обычное сложение чисел.
Если взять $ n=5$ , то по новому правилу сложения получим: $ {1+2=3}$ , $ {2+3=0}$ (число 5 делится на 5, остаток равен 0), $ {4+4=3}$ (число 8 при делении на 5 дает в остатке 3).
Операцию умножения на множестве $ \mathcal{K}$ определим аналогично:
$\displaystyle a\cdot b={\rm mod}\,(ab,n),$
где в левой части стоит умножение на множестве $ \mathcal{K}$ , а в правой части, под знаком $ ''{\rm mod}\,''$ стоит обычное произведение чисел.
Если, как и раньше, взять $ {n=5}$ , то по новому правилу умножения получим: $ {2\cdot 2=4}$ , $ {2\cdot 3=1}$ (число 6 делится на 5 с остатком 1), $ {4\cdot 3=2}$ (число 12 делится на 5 с остатком 2).
Можно показать, что множество $ \mathcal{K}$ с введенными таким образом операциями является коммутативным кольцом. Обозначается оно обычно $ \mathbb{Z}_n$ .
Если $ n$ не является простым числом, то в кольце $ \mathbb{Z}_n$ есть делители нуля. Например, в $ \mathbb{Z}_6$ выполнено $ {3\cdot4=0}$ , так как число 12 делится на 6.         

Если в примере 16.1, указанную там операцию назвать сложением и обозначить знаком "+", а умножение определить так:

$\displaystyle aa=a,\quad ab=ba=a,\quad bb=b,$

то получим кольцо $ \mathbb{Z}_2$ . Элемент $ a$ соответствует нулю, а элемент $ b$ соответствует единице.

Исходя из определения кольца, можно доказать, что в нем выполняются привычные свойства умножения и сложения, то есть

$\displaystyle a\cdot 0=0,\quad a(b-c)=ab-ac,\quad a(-b)=-ab$

и т. п.

Пример: ,

.

Таким образом, две матрицы можно перемножать, когда число столбцов   равно числу строк матрицы . Тогда матрица  называется согласованной с . Из согласованности   с  не следует согласованность  с . Если даже выполняется, то .

Свойства (умножения матриц):

1˚.  имеем .

Доказательство: Из определения 5 следует, что элемент  матрицы  равен , а элемент  матрицы  равен . Равенство  следует из возможности изменения порядка суммирования.

2˚. , .

 , .

Доказательство: следует из определения суммы и произведения.

3˚. .

Доказательство: Пусть, и . Тогда , здесь  – символ Кронекера.

.

4˚. .

5˚. .

Доказательство: аналогично свойству 3˚.

6˚. .