Строймех
Сопромат
Математика

Театр

Карта

Системы линейных уравнений, Линейные пространства и преобразования Линейные уравнения

Поля

        Определение 16.3   Полем называется коммутативное кольцо с единицей, в котором любой элемент, отличный от нуля, имеет обратный.         

Термин "кольцо с единицей" означает, что в кольце существет такой элемент $ e$ , что для любого элемента $ a$ выполнено $ {ae=a}$ и $ {ea=a}$ . Можно доказать, что элемент $ e$ , если он существует, определяется однозначно. Обратным элементом к элементу $ a$ называется такой элемент $ b$ , что $ {ab=e}$ . Можно доказать, что при этом $ {ba=e}$ , и что элемент $ b$ определяется однозначно. Обратный элемент к элементу $ a$ обозначается $ a^{-1}$ .

Примерами полей служат множество рациональных чисел и множество вещественных чисел. Последнее обычно обозначается $ \mathbb{R}$ . Можно доказать, что кольцо $ \mathbb{Z}_n$ также будет полем, если $ n$  -- простое число. Например, при $ {n=5}$ обратные элементы определяются так:

$\displaystyle 1^{-1}=1,\quad2^{-1}=3,\quad3^{-1}=2,\quad4^{-1}=4.$

 

Еще один пример поля получим, если рассмотрим множество несократимых дробей вида $ \dfrac{P(x)}{Q(x)}$ , где $ P(x)$ и $ Q(x)$  -- многочлены, причем коэффициент при старшей степени $ x$ в многочлене $ Q(x)$ равен единице. Сложение и умножение производится по обычным правилам сложения и умножения дробей, только в результате обязательно производится сокращение на общий множитель, если таковой имеется. Заметим, что многочлен $ P(x)$ может иметь нулевую степень, то есть являться обычным числом, многочлен $ Q(x)$ тоже может быть числом, но в этом случае он обязательно равен 1.

Такое поле носит название поля дробно-рациональных функций.

В следующей главе мы рассмотрим еще один, очень важный, пример поля, а именно, поле комплексных чисел.

Определение 6: Прямой суммой квадратных матриц  порядков соответственно называется квадратная матрица  порядка : . Обозначение .

Свойства (прямой суммы):

1˚. .

2˚. .

3˚. .

4˚. .

Доказательство – самостоятельно.


§6. Группа перестановок. Знак перестановки.

Напомним, что если  – множество из -элементов, , то перестановкой степени  называется взаимнооднозначное отображение .  – множество всех перестановок степени : .

Лемма 1: Число различных перестановок равно

Лемма 2: Множество перестановок  образует группу относительно умножения, так что , обратный элемент получается сменой строк (Не коммутативная группа).

Отметим, что если в перестановке  поменять местами любые столбцы, то получится та же перестановка.

Углубим проведенное ранее исследование:

Определение 1: Пусть  – перестановка степени , пусть . Тогда пара  называется инверсией для , если .

Перестановка  называется четной, если число инверсий для  – четное, и перестановка нечетная, если число инверсий нечетное.

Знак перестановки  – это ,где  – число инверсий.

Обозначается .

Итак, если  – четная, то , и если  – нечетная, то .

Пример: . Пары . Их них подчеркнутые – инверсии. Таким образом, , т.е.  – четная.