Строймех
Сопромат
Математика

Театр

Карта

Системы линейных уравнений, Линейные пространства и преобразования Линейные уравнения

Определение и примеры

        Определение 18.1   Пусть $ \mathcal{P}$  -- поле, $ L$  -- некоторое множество, на котором задана операция сложения, обозначаемая знаком "+", и операция умножения на элемент поля $ \mathcal{P}$ , то есть любому элементу $ {\alpha}$ , $ {\alpha}\in\mathcal{P}$ , и любому элементу $ a$ , $ a\in L$ , сопоставляется элемент из множества $ L$ , называемый произведением $ {\alpha}$ на $ a$ и обозначаемый $ {\alpha}a$ . Множество $ L$ называется линейным или векторным пространством над полем $ \mathcal{P}$ , если по отношению к операции сложения множество $ L$ является абелевой группой, и для любых $ {\alpha},\,{\beta}$ из поля $ \mathcal{P}$ и любых $ {a,\,b}$ из множества $ L$ выполнены равенства:
  1. $ ({\alpha}{\beta})a={\alpha}({\beta}a)$ ;
  2. $ {\alpha}(a+b)={\alpha}a+{\alpha}b$ ;
  3. $ ({\alpha}+{\beta})a={\alpha}a+{\beta}a$ ;
  4. $ 1\cdot a=a$ , где 1 -- единица поля $ \mathcal{P}$ .

В дальнейшем в качестве поля $ \mathcal{P}$ используется или поле вещественных чисел, или поле комплексных чисел. В первом случае множество $ L$ называется вещественным линейным пространством, во втором -- комплексным линейным пространством.

Легко проверить, что множество векторов трехмерного простраства является вещественным линейным пространством. Действительно, первые четыре свойства векторов из теоремы 10.1 означают, что векторы образуют абелеву группу по сложению, а последние четыре свойства из той же теоремы соответствуют требованиям 1-4 к операции умножения на элементы поля (в данном случае на вещественные числа).

По аналогии с трехмерным векторным пространством элементы любого линейного пространства называются векторами, хотя природа этих элементов может быть совсем иная.

Другими примерами вещественных линейных пространств могут служить:

  1. множество столбцов $ \left(\begin{array}{r}a_1\\ a_2\\ \vdots\\ a_n\end{array}\right)$ из $ n$ элементов, являющихся вещественными числами ;
  2. множество многочленов степени не выше $ n$ с вещественными коэффициентами;
  3. множество всех многочленов с вещественными коэффициентами;
  4. множество функций непрерывных на некотором отрезке $ [a;b]$ .

В примерах 2-4 нулевым вектором является многочлен или функция тождественно равная нулю, то есть равная нулю при всех значениях аргумента. Проверку того, что указанные множества являются линейными пространствами, предоставляем читателю.

Если в примерах 1-3 слово "вещественными" заменить на "комплексными", то получим примеры комплексных линейных пространств.

        Пример 18.1   Рассмотрим еще один пример линейного пространства. Пусть имеется однородная система линейных уравнений, которую запишем в матричном виде $ {Ax=0}$ , где $ A$  -- матрица системы, а $ x$  -- столбец неизвестных. В силу  предложения 15.3 столбцы-решения системы можно складывать и умножать на число. При этом будут получаться снова решения этой системы. Значит, на множестве решений определены операции сложения и умножения на число. Легко проверить, что эти операции удовлетворяют требованиям из определения линейного пространства. Итак, множество решений однородной системы линейных уравнений является линейным пространством. Если матрица $ A$ имеет вещественные элементы, то и пространство будет вещественным, если комплексные -- то и пространство будет комплексным.  

Однородные системы уравнений.

Рассмотрим однородную систему уравнений:

Лемма 1. Система однородных уравнений всегда совместна.

Really  – ее решение. Это решение называется тривиальным.

Ненулевые решения называются нетривиальными.

В соответствии с общей теорией, справедлива следующая лемма.

Лемма 2. Однородная система с квадратной матрицей  имеет нетривиальное решение   .

Доказательство.  Пусть нетривиальное решение существует, тогда два решения. Методом от противного. Пусть   по формулам Крамера – решение единственное, что противоречит условию  .

  Следовательно,   существуют свободные переменные  нетривиальное решение.

Теорема 5. (о множестве решений системы однородных уравнений).

Множество решений СОЛУ образует в пространстве  подпространство размерности , где .

Доказательство. В соответствии с п.4о, решение СОЛУ можно записать в виде (см. формулу (7)):

т.к. , т. е. в случае СОЛУ, любое решение системы выражается в виде линейной комбинации   векторов:

, …, .

Следовательно, множество всех решений СОЛУ образует подпространство в пространстве .

Теперь покажем, что вектора  – линейно независимы. Для этого составим матрицу   из их координат:

Снизу расположен минор порядка , отличный от нуля     столбцов матрицы  линейно независимы  вектора  – линейно независимы  эти вектора образуют базис подпространства  размерность подпространства равна . ч.т.д.

Пусть известны какие-либо  линейно независимых решений СОЛУ:

, …, .

Тогда, в силу предыдущей теоремы, эти вектора образуют базис в подпространстве всех решений СОЛУ и любое решение может быть представлено в виде линейной комбинации этих векторов

, . (11)

и обратно, любая линейная комбинация дает решение СОЛУ.

Def 9. Всякая линейно независимая система  решений СОЛУ (1) называется фундаментальной системой решений.

Т.о., для того, чтобы решить СОЛУ, надо найти фундаментальную систему решений. Тогда общее решение задается формулой (11), где   – произвольные элементы .

Пример.

;

  ~ .

, .

.

Теперь покажем, что любое подпространство  пространства  может быть получено как решение некоторой СОЛУ.