Строймех
Сопромат
Математика

Театр

Карта

Системы линейных уравнений, Линейные пространства и преобразования Линейные уравнения

Координаты векторов

        Определение 18.4   Пусть $ L$  -- $ n$ -мерное линейное пространство, вещественное или комплексное, $ {e_1,\,e_2,\ldots,\,e_n}$  -- базис. Тогда произвольный вектор $ a$ из $ L$ представим в виде линейной комбинации векторов базиса:
$\displaystyle a={\alpha}_1e_1+{\alpha}_2e_2+\ldots+{\alpha}_ne_n.$
Числа $ {{\alpha}_1,\,{\alpha}_2,\ldots,\,{\alpha}_n}$ называются координатами вектора $ a$ в базисе $ {e_1,\,e_2,\ldots,\,e_n}$ . Столбец $ {{\alpha}=\left(\begin{array}{c}{\alpha}_1\\ {\alpha}_2\\ \vdots\\ {\alpha}_n\end{array}\right)}$ из координат вектора называется координатным столбцом вектора $ a$ .         
        Предложение 18.3   Координаты вектора в заданном базисе определяются однозначно.

        Доказательство.     Предположим противное. Пусть $ {e_1,\,e_2,\ldots,\,e_n}$  -- базис, в котором у вектора $ a$ есть два различных набора координат:

$\displaystyle a={\alpha}_1e_1+{\alpha}_2e_2+\ldots+{\alpha}_ne_n,\quad
a={\beta}_1e_1+{\beta}_2e_2+\ldots+{\beta}_ne_n.$

Тогда

$\displaystyle a-a=({\alpha}_1e_1+{\alpha}_2e_2+\ldots+{\alpha}_ne_n)-({\beta}_1e_1+{\beta}_2e_2+\ldots+
{\beta}_ne_n),$

то есть

$\displaystyle 0=({\alpha}_1-{\beta}_1)e_1+({\alpha}_2-{\beta}_2)e_2+\ldots+({\alpha}_n-{\beta}_n)e_n.$

Так как наборы координат различны, то хотя бы один из коэффициентов справа отличен от нуля. Следовательно, векторы $ {e_1,\,e_2,\ldots,\,e_n}$  -- линейно зависимы, что противоречит определению базиса. Полученное противоречие означает, что предположение о наличии двух различных наборов координат неверно.     

        Предложение 18.4   Пусть в $ n$ -мерном пространстве $ L$ задан базис $ {e_1,\,e_2,\ldots,\,e_n}$ . Тогда координатный столбец суммы векторов равен сумме координатных столбцов слагаемых, координатный столбец произведения вектора на число равен координатному столбцу вектора, умноженному на это число.

        Доказательство.     Пусть векторы $ a$ и $ b$ имеют координатные столбцы $ {{\alpha}=\left(\begin{array}{c}{\alpha}_1\\ {\alpha}_2\\ \vdots\\ {\alpha}_n\end{array}\right)}$ и $ {{\beta}=\left(\begin{array}{c}{\beta}_1\\ {\beta}_2\\ \vdots\\ {\beta}_n\end{array}\right)}$ соответственно. Отсюда следует, что

$\displaystyle a={\alpha}_1e_1+{\alpha}_2e_2+\ldots+{\alpha}_ne_n,\quad
b={\beta}_1e_1+{\beta}_2e_2+\ldots+{\beta}_ne_n.$

Поэтому

\begin{multline*}
a+b=({\alpha}_1e_1+{\alpha}_2e_2+\ldots+{\alpha}_ne_n)+({\bet...
...e_1+({\alpha}_2+{\beta}_2)e_2+\ldots+({\alpha}_n+{\beta}_n)e_n.
\end{multline*}

Это равенство означает, что координатный столбец вектора $ a+b$ имеет вид $ \left(\begin{array}{c}{\alpha}_1+{\beta}_1\\ {\alpha}_2+{\beta}_2\\ \vdots\\ {\alpha}_n+{\beta}_n\end{array}\right)$ . Первая часть предложения доказана. Доказательство второй части предоставляем читателю.     

Из последнего предложения следует, что как только в $ n$ -мерном пространстве зафиксирован базис, каждый вектор можно заменить его координатным столбцом, и операциям сложения и умножения на число соответствуют такие же операции над их координатными столбцами. Таким образом, каждое $ n$ -мерное пространство является, с точки зрения алгебры, копией пространства $ \mathbb{R}^n$ в вещественном случае, а в комплексном -- копией $ \mathbb{C}^n$ .

ПРИМЕРЫ

Если   – истинное высказывание, то высказывание не  построится так:  или , т.е.  – ложное.

Пусть высказывания  заданы (для конкретного четырехугольника).

: Противоположные стороны  и   в четырехугольнике  параллельны, .

: Длины противоположных сторон   и  в четырехуголь-нике  равны, .

: Четырехугольник  есть параллелограмм.

Тогда , т.е. высказывание   есть конъюнкция высказываний   и , причем  – истинно тогда и только тогда, когда
истинны высказывания  и  (одновременно). Если же хотя бы
одно из высказываний  и  ложно, то их конъюнкция  так же является ложным высказыванием.

Высказывание :  ( – конкретное число) следует понимать как дизъюнкцию высказываний  и , т.е. . Причем высказывание  истинно тогда, когда хотя бы одно из высказываний  и  истинно;  ложно тогда, когда оба высказывания  и  ложные (одновременно!).

Пусть : В треугольнике  длины сторон   и  равны, ;

: В треугольнике  углы при основании  равны, .

Тогда, как известно, высказывание  истинное, т.е.
высказывания   и  эквивалентны; каждое из них может быть взято в качестве определения равнобедренного треугольника, в то время как другое высказывание выражает свойство равнобедренного
треугольника.

Рассмотрим высказывания:

: Число   делится на 10, .

: Число  делится на 5,  ( – конкретное число).

Тогда можно построить новое высказывание: если , то  (); читается так: "если число  делится (нацело) на 10, то оно делится (нацело) на 5", оно истинное.

Применяемые в математике высказывания обычно представляют собой описание свойств каких-либо математических объектов или описание отношений (взаимосвязей), существующих между этими объектами. Для описания математических ОПРЕДЕЛЕНИЙ применяется, как правило, знак логического тождества в виде , или , или  (definition – определение). Для записи математических ТЕОРЕМ применяются знаки логических операций: импликация  (если …, то …) и эквиваленция  (… тогда и только тогда,
когда …).

Математические утверждения, в которых имеются неизвестные (одно неизвестное –  или несколько – ), не обязательно являются высказываниями. Они становятся высказываниями лишь при конкретном значении этих неизвестных.

Например, неравенство  может быть И или Л при
конкретных значениях переменной  (записывают ) и
говорят, что   – высказывательная форма, соответствующая
предикату . Предикат можно определить как логическую функцию соответственно одной или нескольких переменных, принимающую значение из множества . Для задания области истинности
предиката   в рассматриваемом примере достаточно решить неравенство  или ; множество значений  – область истинности рассматриваемого предиката.

Поскольку высказывательная форма  зависит от одной
переменной, то ее называют одноместной. Нетрудно привести другие примеры одноместных, двуместных и т.д. высказывательных форм и им соответствующих предикатов.

Для описания области истинности предиката используют
КВАНТОРЫ:

  – квантор ОБЩНОСТИ, который читается "для всех", "все",
"каждый", "всякий" и т.д.;

  – квантор СУЩЕСТВОВАНИЯ, который читается "существует", "найдется", "можно указать" и т.д.

Запись   означает: для всякого элемента   из
множества  истинно утверждение .

Запись   означает: существует элемент ,
такой, что для него истинно утверждение .

Если элемент  из множества , для которого истинно высказывание , не только существует, но и единственный, то записывают .

Каждая из приведенных здесь записей, использующих кванторы, является высказыванием.

Кванторы  и   связаны между собой в смысле приведенного определения, а именно: для любого утверждения  имеет место соотношение

,

т.е. отрицание высказывания  имеет вид  (существует элемент , такой, что для него утверждение  является ложным). Аналогично

.