Приближённое нахождение корней уравнений Приближённое нахождение корней уравнений

Кривизна графика функции

        Определение 8.1   Пусть кривая $ L$ задана как график функции $ y=f(x)$ и $ M_0(x_0;f(x_0))$ -- некоторая точка этой кривой. Будем предполагать, что функция $ f(x)$ дифференцируема в некоторой окрестности точки $ x_0$, так что при $ x$ из этой окрестности к графику $ y=f(x)$ можно проводить касательные, составляющие угол $ {\alpha}(x)$ с осью $ Ox$.
Кривизной кривой $ L$ в точке $ M_0$ (или при $ x=x_0$) называется число
$\displaystyle k(x_0)=\left\vert\lim_{x\to x_0}\dfrac{{\Delta}{\alpha}}{{\Delta}l}\right\vert,$
где $ {\Delta}{\alpha}={\alpha}(x)-{\alpha}(x_0)$ -- угол поворота касательной при переходе точки касания из $ M_0(x_0;f(x_0))$ в $ M(x;f(x))$ и $ {\Delta}l$ -- длина части линии $ L$ между точками $ M_0$ и $ M$.     

Смысл предела, определяющего кривизну, -- это скорость поворота касательной в точке $ M_0$, в расчёте на единицу длины дуги.

Рис.8.1.Поворот касательной при переходе из точки $ M_0$ в точку $ M$

        Теорема 8.1   Пусть в точке $ x_0$ функция $ f(x)$ имеет вторую производную $ f''(x_0)$. Тогда кривизна линии $ L=\{y=f(x)\}$ при $ x=x_0$ равна
$\displaystyle k(x_0)=\dfrac{\vert f''(x_0)\vert}{(1+(f'(x_0))^2)^{\frac{3}{2}}}.$

        Доказательство.     Пусть $ x=x_0+h$ -- точка, близкая к $ x_0$ (будем считать для наглядности, что $ h>0$). По геометрическому смыслу производной, $ \mathop{\rm tg}\nolimits {\alpha}(x)=f'(x)$, откуда $ {\alpha}(x)=\mathop{\rm arctg}\nolimits f'(x)$. При малых $ h$ дуга $ M_0M$ весьма близка к хорде $ M_0M$, и интуитивно ясно, что для гладкой кривой $ L$ предел отношения длины дуги $ {\Delta}l$ к длине хорды $ \vert M_0M\vert$ равен 1, то есть эти две бесконечно малых при $ h\to0$ величины эквивалентны. Хорда имеет длину $ \vert M_0M\vert=\sqrt{({\Delta}x)^2+({\Delta}y)^2}$, где $ {\Delta}x=h$ и $ {\Delta}y=f(x)-f(x_0)$ -- приращения координат при переходе от точки $ M_0$ к точке $ M$. Рассмотрим предел $ \lim\limits_{h\to0}\dfrac{\vert M_0M\vert}{h}.$ Имеем, очевидно,

$\displaystyle \dfrac{\vert M_0M\vert}{h}=\dfrac{\sqrt{h^2+(f(x_0+h)-f(x_0))^2}}{h}=
\sqrt{1+\left(\dfrac{f(x_0+h)-f(x_0)}{h}\right)^2},$

откуда

$\displaystyle \lim_{h\to0}\dfrac{\vert M_0M\vert}{h}=\sqrt{1+(f'(x_0))^2}.$

Поскольку $ {\Delta}l\mathrel{\mathop{\sim}\limits_{h\to0}}\vert M_0M\vert$, то, заменив числитель на эквивалентную бесконечно малую, получаем, что

$\displaystyle \lim_{h\to0}\dfrac{{\Delta}l}{h}=\sqrt{1+(f'(x_0))^2}.$

Теперь преобразуем отношение $ \dfrac{{\Delta}{\alpha}}{{\Delta}l}$ к виду $ \dfrac{\dfrac{{\Delta}{\alpha}}{h}}{\dfrac{{\Delta}l}{h}}$. Имеем тогда

$\displaystyle k(x_0)=\left\vert\lim_{h\to0}\dfrac{{\Delta}{\alpha}}{{\Delta}l}\...
...ght\vert=
\left\vert\dfrac{{\alpha}'(x_0)}{\sqrt{1+(f'(x_0))^2}}\right\vert.
$

Осталось вычислить производную, стоящую в числителе:

$\displaystyle {\alpha}'(x)=(\mathop{\rm arctg}\nolimits f'(x))'=\dfrac{f''(x)}{1+(f'(x))^2}.$

Это приводит нас к доказываемой формуле

$\displaystyle k(x_0)=\left\vert\dfrac{\dfrac{f''(x_0)}{1+(f'(x_0))^2}}
{\sqrt{...
...))^2}}\right\vert=
\dfrac{\vert f''(x_0)\vert}{(1+(f'(x_0))^2)^{\frac{3}{2}}}.$

    

        Пример 8.1   Найдём кривизну параболы $ y=x^2$ при произвольном значении $ x$. Поскольку $ y'=2x$ и $ y''=2$, имеем
$\displaystyle k(x)=\dfrac{2}{(1+4x^2)^{\frac{3}{2}}}.$
Заметим, что кривизна параболы убывает при росте $ \vert x\vert$ и принимает максимальное значение 2 при $ x=0$, то есть в вершине параболы.

Тем самым построили КОНТРПРИМЕР, показывающий ложность обратного утверждения к прямой теореме.

ПРОТИВОПОЛОЖНОЕ УТВЕРЖДЕНИЕ:

; [ – не сходится]  [ – неограниченная] является ложным, так как можно построить КОНТРПРИМЕР, т.е.
указать такую последовательность, которая не имеет конечного
предела, но является ограниченной, например .

ОБРАТНАЯ ПРОТИВОПОЛОЖНОЙ ТЕОРЕМА:

:  [ – неограниченная]  [ – не сходится] является истинной, доказать это легко методом от противного.

Если предположить, что неограниченная последовательность сходится, то по прямой теореме она должна быть ограниченной.

Необходимые и достаточные условия

Пусть доказана теорема . Тогда говорят, что условие  является ДОСТАТОЧНЫМ для истинности заключения  (в то же время, высказывание  – НЕОБХОДИМОЕ условие истинности ).

Рассмотрим при этом ОБРАТНОЕ утверждение .

Если это утверждение истинно, т.е. обратная теорема доказана,
то ее условие   является ДОСТАТОЧНЫМ для истинности   (в то же время,  – НЕОБХОДИМОЕ условие истинности).

Таким образом, если истинны прямая и обратная теоремы, то их объединяют в одной формулировке, используя логическую операцию тождества высказываний , и используют слова "необходимо и достаточно", "тогда и только тогда, когда" и т.д. Здесь условие  является НЕОБХОДИМЫМ И ДОСТАТОЧНЫМ (одновременно) для истинности  (в свою очередь, высказывание  – необходимое и достаточное условие для истинности ).

Связь понятий "сходимость" и "ограниченность" последовательности (разобрана ранее) позволяет сказать, что "сходимость" – лишь достаточное условие "ограниченности" последовательности. С другой стороны, "ограниченность" последовательности – лишь необходимое условие "сходимости" ее (не является достаточным). Теорему о связи этих понятий можно сформулировать только как одностороннюю теорему, словами "если …, то …".

ПРИМЕРЫ теорем с необходимым и достаточным (одновременно) условием:

  ( – равнобедренный)

  (углы при одной из сторон равны).

, , ()  

  .

Что касается приемов вычисления определенных интегралов, то они практически ничем не отличаются от всех тех приемов и методов, которые были рассмотрены выше при нахождении неопределенных интегралов. Точно так же применяются методы подстановки (замены переменной), метод интегрирования по частям, те же приемы нахождения первообразных для тригонометрических, иррациональных и трансцендентных функций. Особенностью является только то, что при применении этих приемов надо распространять преобразование не только на подинтегральную функцию, но и на пределы интегрирования. Заменяя переменную интегрирования, не забыть изменить соответственно пределы интегрирования.