Системы линейных уравнений, Линейные пространства и преобразования Линейные уравнения

Евклидово пространство

Вспомним, как в обычном трехмерном пространстве мы вычисляли скалярное произведение векторов. Если координаты векторов

$\displaystyle {\bf a}=({\alpha}_1,\,{\alpha}_2,\,{\alpha}_3)$   и$\displaystyle \quad {\bf b}=({\beta}_1,\,{\beta}_2,\,{\beta}_3)$

были заданы в ортонормированном базисе, то скалярное произведение вычислялось по формуле

$\displaystyle {\bf a}{\bf b}={\alpha}_1{\beta}_1+{\alpha}_2{\beta}_2+{\alpha}_3{\beta}_3.$

Аналогичной формулой можно задать и скалярное произведение в $ n$ -мерном пространстве.

Пусть $ L$  -- вещественное $ n$ -мерное пространство, в котором задан базис $ {e_1,\,e_2,\ldots,\,e_n}$ . Тогда векторы $ a$ и $ b$ из $ L$ задаются своими координатами:

$\displaystyle a={\alpha}_1e_1+{\alpha}_2e_2+\ldots+{\alpha}_ne_n,\quad
b={\beta}_1e_1+{\beta}_2e_2+\ldots+{\beta}_ne_n.$

Скалярное произведение векторов, обозначаеся оно обычно $ {(a,b)}$ , задается формулой

$\displaystyle (a,b)={\alpha}_1{\beta}_1+{\alpha}_2{\beta}_2+\ldots+{\alpha}_n{\beta}_n.$(18.3)
 


В отличие от обычного трехмерного пространства, где с помощью транспортира и линейки можно измерить угол между векторами и длину вектора, в $ n$ -мерном пространстве ни угол между векторами, ни длину вектора измерить невозможно (как можно, например, измерить длину многочлена или угол между многочленами?). Поэтому ортонормированным в $ n$ -мерном пространстве называется тот базис, в котором скалярное произведение вычисляется по формуле (18.3).

Если $ {{\alpha}=\left(\begin{array}{c}{\alpha}_1\\ {\alpha}_2\\ \vdots\\ {\alpha}_n\end{array}\right)}$ , $ {{\beta}=\left(\begin{array}{c}{\beta}_1\\ {\beta}_2\\ \vdots\\ {\beta}_n\end{array}\right)}$  -- координатные столбцы векторов $ a$ и $ b$ , то скалярное произведение можно задать формулой

$\displaystyle (a,b)={\alpha}^{\top}{\beta}.$

Предоставляем читателю самостоятельно убедиться в совпадении этой формулы с формулой (18.3)

        Определение 18.5   Вещественное линейное пространство, в котором задано скалярное произведение называется евклидовым пространством.         

В трехмерном пространстве модуль вектора равен корню квадратному из скалярного произведения вектора на себя $ {\vert{\bf a}\vert=\sqrt{{\bf a}\cdot {\bf a}}}$ . В евклидовом пространстве модуль вектора определим аналогично

$\displaystyle \vert a\vert=\sqrt{(a,a)},$

то есть

$\displaystyle \vert a\vert=\sqrt{{\alpha}_1^2+{\alpha}_2^2+\ldots+{\alpha}_n^2}.$

В трехмерном пространстве с помощью склярного произведения определялся угол между векторами. В евклидовом пространстве тоже можно определить угол между векторами. Но угол в $ n$ -мерном пространстве не имеет существенного значения, кроме одного случая. В трехмерном проcтранстве два вектора ортогональны тогда и только тогда, когда их скалярное произведение равно нулю.

        Определение 18.6   Два вектора евклидова пространства называются ортогональными, если их скалярное произведение равно нулю.         
        Пример 18.5   Пусть $ a,\,b\in\mathbb{R}^4$ , их координатные столбцы $ {{\alpha}=\left(\begin{array}{r}1\\ 2\\ -1\\ -2
\end{array}\right)}$ , $ {{\beta}=\left(\begin{array}{r}2\\ -2\\ -4\\ 1\end{array}\right)}$ . Проверьте, являются ли векторы ортогональными.
Решение. Находим скалярное произведение
$\displaystyle (a,b)=1\cdot2+2\cdot(-2)+(-1)(-4)+(-2)\cdot1=0.$
Следовательно, векторы ортогональны.         

Так как базисные векторы $ {e_1,\,e_2,\ldots,\,e_n}$ имеют координатные столбцы $ \left(\begin{array}{r}1\\ 0\\ \vdots\\ 0\end{array}\right)$ , $ \left(\begin{array}{r}0\\ 1\\ \vdots\\ 0\end{array}\right)$ , ..., $ \left(\begin{array}{r}0\\ 0\\ \vdots\\ 1\end{array}\right)$ , то несложно проверить, что в ортонормированном базисе $ {\vert e_1\vert=\vert e_2\vert=\ldots=\vert e_n\vert=1}$ , а $ {(e_i,e_j)=0}$ при $ {i\ne j}$ , то есть векторы базиса попарно ортогональны.

Если $ L$  -- комплексное линейное $ n$ -мерное пространство, то в нем тоже можно ввести скалярное произведение, задав его формулой

$\displaystyle (a,b)={\alpha}_1\ovl{{\beta}}_1+{\alpha}_2\ovl{{\beta}}_2+\ldots+{\alpha}_n\ovl{{\beta}}_n,$

где черта над $ {{\beta}_1,\,{\beta}_2,\ldots,\,{\beta}_n}$ означает комплексное сопряжение.

        Определение 18.7   Комплексное линейное пространство, в котором введено скалярное произведение, называется унитарным пространством.         

В унитарном пространстве модуль вектора и условие ортогональности вводятся с помощью скалярного произведения так же, как в евклидовом пространстве. В координатной записи

$\displaystyle \vert a\vert=\sqrt{{\alpha}_1\ovl{{\alpha}}_1+{\alpha}_2\ovl{{\al...
...t{\vert{\alpha}_1\vert^2+\vert{\alpha}_2\vert^2+\ldots+\vert{\alpha}_n\vert^2}.$

ГРАНИ ЧИСЛОВЫХ МНОЖЕСТВ

Напомним свойства множества всех действительных чисел .

Множество  – бесконечное, мощности .

; .

Между   и точками числовой оси существует взаимно-однозначное соответствие, поэтому термины "точка" и "действительное число" взаимозаменяемы и, значит, числовые промежутки можно представлять геометрическими отрезками (с концами или без концов).

Если  и   – произвольные действительные числа, то либо , либо , либо ; причем если , то ,
а также если   и , то .

Для любых различных действительных чисел найдется действительное число "между" ними, например их полусумма, т.е.   или  .

Сформулированное свойство ПЛОТНОСТИ множества  верно и для множеств  и .

Свойство НЕПРЕРЫВНОСТИ ("сплошности") множества  постулируется, например, ПРИНЦИПОМ  КАНТОРА

Для любой последовательности вложенных сегментов

,

стягивающихся по длине к нулю, т.е. такой, что , существует единственная точка , принадлежащая всем сегментам сразу, т.е. .

Очевидно, что при   Заметим, что хотя  и , но свойство непрерывности для множеств  и  не имеет места.

Ограниченность числовых множеств. Пусть  – произвольное числовое множество, .

( – ограничено сверху)();

( – ограничено снизу)();

( – ограниченное)(), т.е. . Чаще отрезок  берется симметричным относительно , т.е.

( – ограниченное)().

Используя отрицание высказывания, имеем

( – неограниченное)().

Например,  – ограниченное множество, т.к. ;

множество  – неограниченное, так как
для   можно указать (существует) , такое, что .

Если множество  ограничено сверху, то говорят: "множество имеет "верхнюю границу", т.е.

.

В этом случае множество всех верхних границ  – бесконечное.

Наименьшая из верхних границ множества  называется
точной верхней границей множества  или его ВЕРХНЕЙ ГРАНЬЮ и обозначается  (читается "супремум множества "), т.е.

   ( – верхняя граница множества  – наименьшая верхняя граница множества )

или

   .

 

Что касается приемов вычисления определенных интегралов, то они практически ничем не отличаются от всех тех приемов и методов, которые были рассмотрены выше при нахождении неопределенных интегралов. Точно так же применяются методы подстановки (замены переменной), метод интегрирования по частям, те же приемы нахождения первообразных для тригонометрических, иррациональных и трансцендентных функций. Особенностью является только то, что при применении этих приемов надо распространять преобразование не только на подинтегральную функцию, но и на пределы интегрирования. Заменяя переменную интегрирования, не забыть изменить соответственно пределы интегрирования.