Строймех
Сопромат
Математика

Театр

Карта

Системы линейных уравнений, Линейные пространства и преобразования Линейные уравнения

Аффинное $ n$ -мерное пространство

Если в обычном трехмерном пространстве выбрана система координат Oxyz , то каждая точка $ A$ этого пространства отождествлялась с тройкой чисел -- координатами вектора $ \overrightarrow {OA}$ . Аналогично мы можем считать, что набор из $ n$ чисел является точкой $ n$ -мерного пространства и рассматривать этот набор как координаты радиус-вектора этой точки. Такое $ n$ -мерное пространство в отличие от векторного называется аффинным $ n$ -мерным пространством. За начало координат принимается точка $ {(0,\,0,\ldots,\,0)}$ . За единичные векторы на осях координат в этом случае принимаются радиус-векторы точек

$\displaystyle (1,\,0,\ldots,\,0),\;(0,\,1,\ldots,\,0),\ldots,\,(0,\,0,\ldots,\,1).$

Любым двум точкам $ A$ и $ B$ аффинного пространства можно сопоставить вектор $ \overrightarrow {AB}$ из $ n$ -мерного линейного пространства. Для получения координат вектора $ \overrightarrow {AB}$ нужно из координат конца вектора вычесть координаты начала.

        Пример 18.6   Пусть $ {A=(1,\,2,\,-1,\,3)}$ , $ {B=(2,\,0,\,-3,\,4)}$  -- точки четырехмерного пространства. Тогда вектор $ \overrightarrow {AB}$ имеет координатный столбец $ {\left(\begin{array}{c}2-1\\ 0-2\\ -3-(-1)\\ 4-3\end{array}\right)=\left(\begin{array}{r}1\\ 2\\ -2\\ 1\end{array}\right)}$ .         

Параллельный перенос осей координат осуществляется по формулам, аналогичным  (13.21). Пусть точка $ O'$ , являющаяся началом новой системы координат, имеет координаты $ {(x_1,\,x_2,\ldots,\,x_n)}$ . Пусть $ M$  -- некоторая точка пространства с координатами $ {(y_1,\,y_2,\ldots,\,y_n)}$ в старой системе координат и $ {(\tilde y_1,\,\tilde y_2,\ldots,\,\tilde y_n)}$ в новой системе координат. Тогда связь между старыми и новыми координатами задается формулами

$\displaystyle \tilde y_1=y_1-x_1,\;\tilde y_2=y_2-x_2,\ldots,\;\tilde y_n=y_n-x_n.$

В трехмерном пространстве уравнение $ {Ax+By+Cz=D}$ задает плоскость. Аналогично в $ n$ -мерном пространстве уравнение

$\displaystyle A_1x_1+A_2x_2+\ldots+A_nx_n=B,$

где $ {A_1,\,A_2,\dots,\,A_n,\,B}$  -- числа, задает плоскость размерности $ {n-1}$ , обычно ее называют гиперплоскостью. В трехмерном пространстве система из двух уравнений задает прямую. В $ n$ -мерном пространстве система
$\displaystyle \left\{\begin{array}{l}a_{11}x_1+a_{12}x_2+\ldots+a_{1n}x_n=b_1,\...
...\
\hdotsfor{1}\\
a_{m1}x_1+a_{m2}x_2+\ldots+a_{mn}x_n=b_m\end{array}\right.$

из $ m$ уравнений, $ {m<n}$ , задает плоскость размерности $ {n-m }$ , если ранг матрицы системы равен $ m$ .

Если для векторов задано скалярное произведение формулой  (18.3), то в аффинном пространстве можно определять расстояние между точками. Пусть $ {A=(x_1,\,x_2,\ldots,\,x_n)}$ , $ {B=(y_1,\,y_2,\ldots,\,y_n)}$  -- точки пространства, тогда расстояние между ними

$\displaystyle \vert AB\vert=\vert\overrightarrow {AB}\vert=\sqrt{(y_1-x_1)^2+(y_2-x_2)^2+\ldots+(y_n-x_n)^2}.$

В соответствии с этим говорят, что уравнение

$\displaystyle x_1^2+x_2^2+\ldots+x_n^2=R^2$

задает в $ n$ -мерном вещественном пространстве $ (n-1)$ -мерную сферу, а неравенство

$\displaystyle x_1^2+x_2^2+\ldots+x_n^2\leqslant R^2$

задает $ n$ -мерный шар радиуса $ R$ с центром в начале координат. В аффинном $ n$ -мерном пространстве можно рассматривать поверхности второго порядка. Их типов оказывается тоже конечное число.

Можно рассматривать множество точек, задаваемых уравнением $ {F(x_1,x_2,\ldots,x_n)=0}$ . При некоторых ограничениях на функцию $ F$ , это уравнение будет определять $ (n-1)$ -мерную поверхность (гиперповерхность), а неравенство $ {F(x_1,x_2,\ldots,x_n)\leqslant 0}$  -- область в $ n$ -мерном аффинном пространстве.

Смешанное произведение векторов

Пусть даны три вектора , , .

Def 1. Смешанным произведением векторов называется произведение следующего вида: , т.е. вначале вектора  и  перемножаются векторно, а затем результат умножается скалярно на вектор .

В результате получается скалярная величина.

Свойства смешанного произведения.

Модуль смешанного произведения трех векторов равен объему параллелепипеда, построенного на трех исходящих из одной точки векторах. Смешанное произведение больше нуля, если тройка правая, и отрицательная, если она левая.

Доказательство: Отложим вектора , ,  из одной точки. Возможны две ситуации:

a) Тройка , ,  – правая; б) Тройка , ,  – левая.

 


Пусть .

Тогда

Три вектора компланарны тогда и только тогда, когда их смешанное произведение равно нулю.

Доказательство. Если один из векторов нулевой, то свойство очевидно.

Пусть , , ¹ 0.

 Пусть , ,  – компланарны. Тогда ^  .

  Пусть  Þ либо ^, либо .

В первом случае это означает, что вектор  ^ векторам , ,  Þ , ,  – компланарны. Во втором случае – || Þ   и  – линейно зависимы Þ , ,  – компланарны.

Смешанное произведение не зависит от группировки сомножителей, т.е. .

Доказательство. Тройки , ,  и , ,  ориентированы одинаково, значит знак смешанного произведения одинаковый. Модуль так же одинаковый в силу свойства 1.

Обозначение. Смешанное произведение векторов , ,  обозначается .

.

Следует из свойства циклической перестановки ориентированных векторов.

, .

Следует из свойств скалярного произведения.