Системы линейных уравнений, Линейные пространства и преобразования Линейные уравнения


Матрица линейного преобразования

В  примере 19.4 было показано, что преобразование $ n$ -мерного пространства, заключающееся в умножении координатных столбцов векторов на фиксированную матрицу, является линейным преобразованием. В этом разделе мы покажем, что все линейные преобразования конечномерного пространства устроены таким же образом.

Пусть $ L$  -- $ n$ -мерное линейное пространство, в котором задан базис $ {e_1,\,e_2,\ldots,\,e_n}$ , $ \mathcal{A}$  -- линейное преобразование. Возьмем произвольный вектор $ x$ . Пусть $ {{\alpha}=\left(\begin{array}{c}{\alpha}_1\\ \vdots\\ {\alpha}_n\end{array}\right)}$  -- его координатный столбец. Координатный столбец вектора $ {\mathcal{A}(x)}$ обозначим $ {\beta}$ .

Запишем разложение вектора $ x$ по базису пространства $ {x={\alpha}_1e_1+{\alpha}_2e_2+\ldots+{\alpha}_ne_n}$ . Для образа этого вектора получим

$\displaystyle \mathcal{A}(x)=\mathcal{A}({\alpha}_1e_1+\ldots+{\alpha}_ne_n)=
 ...
..._1)+\ldots+{\alpha}_n\mathcal{A}(e_n)=
 \sum_{j=1}^n{\alpha}_j\mathcal{A}(e_j).$(19.2)
 


Векторы $ {\mathcal{A}(e_1),\,\mathcal{A}(e_2),\ldots,\,\mathcal{A}(e_n)}$ имеют какие-то координатные столбцы, обозначим их $ \left(\begin{array}{c}a_{11}\\ a_{21}\\ \vdots\\ a_{n1}\end{array}\right)$ , $ \left(\begin{array}{c}a_{12}\\ a_{22}\\ \vdots\\ a_{n2}\end{array}\right)$ , ..., $ \left(\begin{array}{c}a_{1n}\\ a_{2n}\\ \vdots\\ a_{nn}\end{array}\right)$ соответственно. В этой записи первый индекс показывает номер координаты, а второй индекс -- номер вектора. Соответственно,

$\displaystyle \mathcal{A}(e_j)=\sum_{i=1}^na_{ij}e_i,\quad j=1,\,2,\ldots,\,n.$

Подставим это выражение в равенство (19.2) и, используя  предложение 14.3, изменим порядок суммирования

$\displaystyle \mathcal{A}(x)=\sum_{j=1}^n{\alpha}_j\left(\sum_{i=1}^na_{ij}e_i\...
..._{ij}{\alpha}_j)e_i=
\sum_{i=1}^n\left(\sum_{j=1}^na_{ij}{\alpha}_j\right)e_i.$

Это равенство означает, что $ i$ -той координатой вектора $ \mathcal{A}(x)$ служит $ {\displaystyle\sum_{j=1}^na_{ij}{\alpha}_j}$ .

Составим матрицу $ A$ из координатных столбцов векторов $ {\mathcal{A}(e_1)}$ , ...,$ {\mathcal{A}(e_n)}$

$\displaystyle A=\left(\begin{array}{cccc}
a_{11}&a_{12}&\ldots&a_{1n}\\
a_{2...
...dots&a_{2n}\\
\hdotsfor{4}\\
a_{n1}&a_{n2}&\ldots&a_{nn}\end{array}\right).$

Вычислим произведение матрицы $ A$ на столбец $ {\alpha}$

$\displaystyle A{\alpha}=\left(\begin{array}{c}{\displaystyle\sum_{j=1}^na_{1j}{...
..._j}\\ \vdots\\
{\displaystyle\sum_{j=1}^na_{nj}{\alpha}_j}\end{array}\right).$

Мы видим, что $ i$ -ый элемент столбца совпадает с $ i$ -ой координатой вектора $ {\mathcal{A}(x)}$ . Поэтому

$\displaystyle {\beta}=A{\alpha}.$(19.3)
 


Это означает, что в выбранном базисе действие любого линейного преобразования сводится к умножению матрицы на координатный столбец вектора.

Матрица $ A$ называется матрицей линейного преобразования $ \mathcal{A}$ . Еще раз напомним, как она составлена: первый столбец является координатным столбцом образа первого базисного вектора, второй столбец -- координатным столбцом образа второго базисного вектора и т.д.

        Пример 19.5   Найдем матрицу линейного преобразования $ \mathcal{A}$ из  примера 19.1.
Выберем какой-нибудь базис $ {e_1,\,e_2}$ . Тогда
$\displaystyle \mathcal{A}(e_1)=2e_1=2e_1+0e_2.$
Следовательно, первый столбец матрицы $ A$ имеет вид $ \left(\begin{array}{r}2\\ 0\end{array}\right)$ . Аналогично
$\displaystyle \mathcal{A}(e_2)=2e_2=0e_1+2e_2,$
Второй столбец матрицы $ A$ имеет вид $ \left(\begin{array}{r}0\\ 2\end{array}\right)$ . В итоге
$\displaystyle A=\left(\begin{array}{rr}2&0\\ 0&2\end{array}\right).$
        
        Пример 19.6   Найдем матрицу линейного преобразования $ \mathcal{A}$ из  примера 19.2. Угол $ {\varphi}$ возьмем равным $ \frac{\pi}6$ . В качестве базиса возьмем привычный ортонормированный базис i, j.
Из рисунка 19.7 видно, что вектор $ {\mathcal{A}({\bf i})}$ имеет координаты $ {\cos\frac{\pi}6=\frac{\sqrt3}2}$ и $ {\sin\frac{\pi}6=\frac12}$ .
Рис.19.7.Координаты образов базисных векторов при преобразовании поворота


Поэтому координатный столбец образа первого базисного вектора имеет вид $ \left(\begin{array}{c}\vphantom{\dfrac11}\frac{\sqrt3}2\\ \vphantom{\dfrac11}\frac12\end{array}\right)$ . Координаты образа второго базисного вектора равны $ {-\frac12}$ и $ {\frac
{\sqrt3}2}$ , его координатный столбец имеет вид $ \left(\begin{array}{c}\vphantom{\dfrac11}-\frac12\\ \vphantom{\dfrac11}\frac{\sqrt3}2\end{array}\right)$ . В итоге получаем, что в базисе i, j матрица поворота на угол $ {\frac{\pi}6}$ имеет вид

$\displaystyle A=\left(\begin{array}{cc}\vphantom{\dfrac11}\frac{\sqrt3}2&-\frac12\\
\vphantom{\dfrac11}\frac12&\frac{\sqrt3}2\end{array}\right).$

Итак, теорема о локальной ограниченности является "односторонней" теоремой и выражает НЕОБХОДИМОЕ условие существования конечного предела функции (и последовательности).

Следующая серия утверждений описывает связь между соотношениями для функций и их пределов.

ТЕОРЕМА (о переходе к пределу в равенстве)

Если  на   и существует , то существует  и .

ПРИМЕР. Поскольку  для  и , то .

ТЕОРЕМА (о переходе к пределу в неравенстве)

Если  или   на  и существуют  – к.ч. и  – к.ч., то .

Доказательство можно провести методом от противного.
Рекомендуем провести самостоятельно.

ТЕОРЕМА (о перенесении неравенства между пределами на функции)

Если существуют пределы  и  и выполняется неравенство , то существует окрестность ,
на которой .

Доказательство. Имеем

,

в частности, при   :  , т.е. . Аналогично

,

в частности, при   , т.е.  или .

Поскольку при  , то на пересечении окрестностей  имеем , т.е. указали окрестность , на которой характер неравенства между пределами переносится на функции.

Следствие. Если  – конечное число и , то можно указать окрестность , на которой .

ТЕОРЕМА (о пределе промежуточной функции)

Если  на   и существуют  и  и их значения конечны и равны, то существует предел промежуточной функции  и его значение совпадает со значением пределов оценивающих слева и справа функций.

Доказательство рекомендуем построить самостоятельно,
используя определение предела по Коши для функций  и  при .

 

Что касается приемов вычисления определенных интегралов, то они практически ничем не отличаются от всех тех приемов и методов, которые были рассмотрены выше при нахождении неопределенных интегралов. Точно так же применяются методы подстановки (замены переменной), метод интегрирования по частям, те же приемы нахождения первообразных для тригонометрических, иррациональных и трансцендентных функций. Особенностью является только то, что при применении этих приемов надо распространять преобразование не только на подинтегральную функцию, но и на пределы интегрирования. Заменяя переменную интегрирования, не забыть изменить соответственно пределы интегрирования.