Строймех
Сопромат
Математика

Театр

Карта

Системы линейных уравнений, Линейные пространства и преобразования Линейные уравнения

Изменение матрицы линейного преобразования при изменении базиса

В предыдущем разделе мы установили, что как только в линейном пространстве выбран базис, то каждому линейному преобразованию соответствует матрица этого преобразования. Однако если выбрать в пространстве другой базис, то матрица преобразования, как правило, станет другой. Выясним, как эти матрицы связаны между собой.

Пусть $ L$  -- $ n$ -мерное линейное пространство, $ {e_1,\ldots,\,e_n}$ и $ {e_1',\ldots,\,e_n'}$  -- два базиса в этом пространстве. Первый из них назовем "старым", а второй -- "новым". Пусть $ S$  -- матрица перехода 19.1.4 а от старого базиса к новому.

        Предложение 19.1   Пусть $ \mathcal{A}$  -- линейное преобразование пространства $ L$ , $ A$ и $ A'$  -- матрицы этого преобразования в старом и новом базисе соответственно. Тогда
 
$\displaystyle A'=S^{-1}AS.$

        Доказательство.     Пусть $ x$  -- произвольный вектор пространства $ L$ , $ y$  -- его образ, то есть $ {y=\mathcal{A}(x)}$ . Пусть $ {\alpha}$ и $ {\beta}$  -- координатные столбцы векторов $ x$ и $ y$ в старом базисе, а $ {\alpha}'$ , $ {\beta}'$  -- в новом. Тогда в силу формулы (19.3) $ {{\beta}=A{\alpha}}$ . По  предложению 18.5 имеем $ {{\alpha}=S{\alpha}'}$ , $ {{\beta}=S{\beta}'}$ . Подставим эти выражения в предыдущую формулу, получаем $ {S{\beta}'=A(S{\alpha}')}$ . Откуда $ {{\beta}'=(S^{-1}AS){\alpha}'}$ . С другой стороны, в силу формулы (19.3) в новом базисе $ {{\beta}'=A'{\alpha}'}$ . Сравнивая это равенство с предыдущим, получаем $ {A'=S^{-1}AS}$ .     

        Определение 19.2   Две квадратных матрицы $ P$ и $ Q$ одного порядка называются подобными, если существует такая невырожденная матрица $ S$ , что $ {P=S^{-1}QS}$ .         
        Следствие 19.1   Матрицы одного линейного преобразования, соответствующие разным базисам, подобны друг другу, и наоборот, если матрицы подобны, то они являются матрицами одного и того же преобразования в разных базисах.

Существование предела частного функций  доказывается аналогично, если предварительно установить ограниченность функции  на некоторой окрестности .

Теорема задает лишь ДОСТАТОЧНЫЕ условия существования предела суммы, произведения и частного функций при ; может быть применена для вычисления пределов функций.

Свойства бесконечно больших (б/б) и

бесконечно малых (б/м) функций

ОПРЕДЕЛЕНИЕ (б/м функции  при )

Функция , ,  называется бесконечно малой при  (сокр. б/м), если при  она имеет нулевой, а значит, конечный предел, т.е.

( – б/м при ).

Например,  – б/м при ; заметим, что одновременно  – б/б при .

ТЕОРЕМА (об арифметике б/м функций в одной и той же точке)

Если  и   – бесконечно малые функции при , то сумма  – б/м при ;

произведение  – б/м при .

Отношение бесконечно малых  при  требует специального рассмотрения.

СРАВНЕНИЕ б/м функций при  приводит к различным возможным ситуациям, которые схематично можно описать соотношением

Здесь символ  читается " малое от ", и означает, что при   ( – б/м при ) и  какая-либо бесконечно малая при  функция , такая, что  при ; говорят, " – б/м при  большего
порядка по сравнению с б/м .

Например, если  – б/м при , то , поскольку .

ПРИМЕР.   – б/м при ;  – б/м при . Сравним эти б/м, вычисляя  Очевидно, что этот предел не существует и б/м не сравниваются при .

Подчеркнем, что сравнение бесконечно малых приводит к неоднозначному ответу, т.е. имеем дело с НЕОПРЕДЕЛЕННОСТЬЮ. Вычисление предела  или доказательство его отсутствия в этом случае называем "раскрытием" неопределенности.